Divisão de polinômio por polinômio

A divisão de polinômios é uma operação nada trivial, que é usada com relativa frequência na simplificação de polinômios.

Primeiro exemplo

A divisão de polinômios já é algo bem complicado, pelo menos em comparação com as operações anteriores. Mesmo assim, o procedimento da divisão de polinômios é bastante parecido com o da divisão manual comum. Vamos mostrar todo o algoritmo com exemplos. Comecemos com um simples, por exemplo:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Supomos que os dois polinômios estão ordenados em ordem decrescente e devidamente simplificados, isto é, o que podíamos somar, já somamos. Isso não é essencial para o algoritmo, mas simplifica as contas. No primeiro passo dividimos o primeiro termo do primeiro polinômio pelo primeiro termo do segundo polinômio (aqui o segundo polinômio tem apenas um termo, então o primeiro termo do segundo polinômio é igual ao segundo polinômio inteiro). Ou seja, fazemos a operação

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

A divisão desses termos básicos acontece de forma inversa à multiplicação, não deveria haver nada de surpreendente. Como é o primeiro passo, reescrevemos isso na expressão original que queremos calcular

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

e continuamos com o segundo passo. Multiplicamos o nosso resultado provisório pelo segundo polinômio, isto é, pelo polinômio pelo qual dividimos.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Subtraímos esse resultado do primeiro polinômio inteiro. Escrevemos isso embaixo do primeiro polinômio, mais ou menos assim:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Agora, embaixo da linha, sobrou um resultado, e a esse resultado aplicamos o mesmo procedimento que ao polinômio original. Dividimos o resultado pelo primeiro termo do segundo polinômio.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Somamos esse resultado à solução provisória anterior:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

E de novo, no caminho de volta, multiplicamos o segundo polinômio inteiro por quatro

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

e subtraímos do que sobrou embaixo da linha.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Depois da subtração sobra zero, e com isso o algoritmo termina. No lado direito temos o resultado da divisão. Se quisermos fazer a verificação, multiplicamos o polinômio obtido pelo segundo polinômio e precisamos obter o primeiro polinômio.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Segundo exemplo

Vamos modificar só um pouco o enunciado anterior e tentar calcular

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

O cálculo transcorrerá o tempo todo como no exemplo anterior, só que depois de cada subtração o resultado será maior em sete. Ou seja, o cálculo, em resumo, seria assim:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

O procedimento não mudou, só apareceu o sete a mais. Neste passo já não conseguimos fazer de forma simples a divisão da nova diferença (esse sete) pelo segundo polinômio. Simplesmente escrevemos o resultado como sete dividido pelo polinômio dado e somamos ao resultado intermediário.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Na multiplicação de volta pelo segundo polinômio obtemos o sete

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

e com isso obtemos zero depois da subtração.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

O algoritmo termina aqui, chegamos a zero.

Terceiro exemplo

Vamos ampliar o segundo polinômio com mais um termo.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

No primeiro passo dividimos o primeiro termo do primeiro polinômio pelo primeiro termo do segundo, assim como nos exemplos anteriores.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

No passo seguinte multiplicamos esse resultado intermediário pelo segundo polinômio inteiro e subtraímos do primeiro.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Escrevemos isso de forma organizada embaixo do exemplo inteiro.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Continuamos, dividindo o primeiro termo do polinômio recém-obtido pelo primeiro termo do segundo polinômio.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Multiplicamos pelo segundo polinômio inteiro:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Escrevemos e subtraímos:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Isso já não pode ser dividido de modo razoável, então simplesmente somamos a fração dos dois polinômios.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Se ainda fizéssemos de volta a multiplicação e a subtração, obteríamos imediatamente zero, como no exemplo anterior. Vamos fazer a verificação. Antes de fazer uma verificação completa, podemos tentar um teste rápido. Substituímos nas expressões algum valor trivial, por exemplo zero. Se substituirmos zero no resultado da divisão, obtemos

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Se substituirmos zero nas expressões que dividimos, obtemos

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Se a nossa transformação estiver correta, os dois valores têm de dar o mesmo resultado. Como vemos, os valores são iguais. Esse procedimento não garante a correção total, pois teríamos de testar todos os valores possíveis que podemos substituir no lugar do parâmetro x, mas, por outro lado, pode revelar rapidamente um erro. Vamos tentar o mesmo com o um. Substituímos no resultado e obtemos:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Substituímos nas expressões originais e obtemos

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Estamos no bom caminho, mas, para a confirmação final, precisamos fazer a multiplicação completa.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Capítulos: Polinômios, Divisão de polinômio por polinômio, Raiz de um polinômio, Fatoração de polinômios

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