Divisione tra polinomi

La divisione tra polinomi è un’operazione tutt’altro che banale, che si usa piuttosto spesso quando si semplificano e si trasformano i polinomi.

Primo esempio

La divisione tra polinomi è già piuttosto complessa, almeno rispetto alle operazioni viste finora. Il procedimento, però, è molto simile a quello della comune divisione scritta tra numeri. Mostriamo l’intero algoritmo su alcuni esempi. Cominciamo con uno semplice, per esempio:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Supponiamo che entrambi i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti e opportunamente semplificati, cioè che i termini simili siano già stati sommati. Non è essenziale per l’algoritmo, ma i calcoli risultano più semplici. Nel primo passo dividiamo il primo termine del primo polinomio per il primo termine del secondo (qui il secondo polinomio ha un solo termine, quindi il suo primo termine coincide con l’intero polinomio). Eseguiamo cioè l’operazione

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

La divisione di questi termini è l’operazione inversa della moltiplicazione, quindi non dovrebbe esserci nulla di sorprendente. Poiché è il primo passo, riscriviamo il risultato nell’espressione iniziale da calcolare

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

e passiamo al secondo passo. Moltiplichiamo il risultato provvisorio per il secondo polinomio, cioè per il polinomio per cui stiamo dividendo.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Sottraiamo questo risultato dall’intero primo polinomio. Lo scriviamo sotto il primo polinomio, più o meno così:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

A questo punto sotto la riga ci è rimasto un risultato, e su di esso applichiamo lo stesso procedimento usato per il polinomio di partenza. Lo dividiamo per il primo termine del secondo polinomio.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Aggiungiamo questo risultato al quoziente provvisorio precedente:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Poi di nuovo, al contrario, moltiplichiamo per quattro l’intero secondo polinomio

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

e sottraiamo il risultato da ciò che era rimasto sotto la riga.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Dopo la sottrazione resta zero e l’algoritmo termina. A destra abbiamo il risultato della divisione. Se vogliamo fare la verifica, moltiplichiamo il polinomio ottenuto per l’altro polinomio e dobbiamo ritrovare il primo polinomio.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Secondo esempio

Modifichiamo appena la traccia precedente e proviamo a calcolare

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Il calcolo procede sempre allo stesso modo dell’esempio precedente, solo che dopo ogni sottrazione il risultato è aumentato di 7. In breve, il calcolo si svolgerebbe così:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Il procedimento non è cambiato, c’è solo un 7 in più. A questo punto non possiamo più dividere in modo semplice la nuova differenza (il 7) per il secondo polinomio. Scriviamo allora il risultato semplicemente come sette fratto il polinomio dato e lo aggiungiamo al risultato parziale.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Moltiplicando di nuovo per il secondo polinomio otteniamo il 7

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

e quindi la differenza è zero.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

L’algoritmo finisce qui: abbiamo raggiunto lo zero.

Terzo esempio

Aggiungiamo un altro termine al secondo polinomio.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Nel primo passo dividiamo il primo termine del primo polinomio per il primo termine del secondo, esattamente come negli esempi precedenti.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Nel passo successivo moltiplichiamo questo risultato parziale per l’intero secondo polinomio e sottraiamo il prodotto dal primo polinomio.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Scriviamo tutto in modo ordinato sotto l’intera divisione.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Continuiamo: dividiamo il primo termine del polinomio appena ottenuto per il primo termine del secondo polinomio.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Moltiplichiamo per l’intero secondo polinomio:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Scriviamo e sottraiamo:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Questo polinomio non si può più dividere in modo sensato, quindi aggiungiamo semplicemente la frazione formata dai due polinomi.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Se rifacessimo a ritroso la moltiplicazione e la differenza, otterremmo subito zero, come nell’esempio precedente. Facciamo la verifica. Prima di una verifica completa possiamo provare un controllo rapido: sostituiamo nelle espressioni un valore banale, per esempio zero. Sostituendo zero nel risultato della divisione otteniamo

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Sostituendo zero nelle espressioni da dividere otteniamo

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Se la nostra trasformazione è corretta, i due valori devono coincidere. Come vediamo, sono uguali. Questo metodo non garantisce la correttezza assoluta (dovremmo infatti provare tutti i valori che si possono sostituire alla x), ma in compenso può smascherare subito un errore. Proviamo lo stesso con il valore 1. Sostituendo nel risultato otteniamo:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Sostituendo nelle espressioni di partenza otteniamo

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Siamo sulla buona strada, ma per la conferma definitiva dobbiamo eseguire l’intera moltiplicazione.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

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