Împărțirea unui polinom la un polinom

Împărțirea polinoamelor este o operație netrivială, care este folosită relativ des la transformarea și simplificarea polinoamelor.

Primul exemplu

Împărțirea polinoamelor este un lucru destul de complicat, cel puțin în comparație cu operațiile de până acum. Totuși, procedeul de la împărțirea polinoamelor este destul de asemănător cu cel de la împărțirea obișnuită în scris. Vom arăta întregul algoritm pe exemple. Să începem cu unul simplu, de exemplu:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) : (2 x^{2})$

Presupunem că ambele polinoame sunt ordonate descrescător și corect reduse – adică ce am putut aduna, am adunat. Nu este esențial pentru algoritm, dar simplifică calculul. În primul pas împărțim primul termen al primului polinom la primul termen al celui de-al doilea polinom (aici al doilea polinom are un singur termen, deci primul său termen este totodată întregul polinom). Adică efectuăm operația

$4 x^{3} : (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Împărțirea acestor termeni de bază decurge invers înmulțirii, nu ar trebui să fie nimic surprinzător. Fiindcă este primul pas, îl scriem în expresia inițială, pe care vrem s-o calculăm

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) : (2 x^{2}) = 2 x$

și continuăm cu al doilea pas. Înmulțim rezultatul nostru provizoriu cu al doilea polinom, adică cu polinomul la care împărțim.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Scădem acest rezultat din întregul prim polinom. Scriem asta sub primul polinom, cam așa:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & : (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Acum, sub linie, ne-a rămas un rezultat și aplicăm asupra lui același procedeu ca asupra polinomului inițial. Îl împărțim la primul termen al celui de-al doilea polinom.

$8 x^{2} : (2 x^{2}) = 4$

Adunăm acest rezultat la rezultatul provizoriu de mai înainte:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) : (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Și din nou, înapoi, înmulțim cu patru întregul al doilea polinom

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

și scădem asta din ce a rămas sub linie.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & : (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

După scădere rămâne zero, deci algoritmul se termină aici. În partea dreaptă avem rezultatul împărțirii. Dacă vrem să facem verificarea, înmulțim polinomul obținut cu al doilea polinom și trebuie să obținem primul polinom.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Al doilea exemplu

Modificăm doar puțin enunțul anterior și încercăm să calculăm

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) : (2 x^{2}) .$

Calculul decurge tot timpul la fel ca în exemplul anterior, doar că după fiecare scădere rezultatul va fi mai mare cu șapte. Calculul ar decurge, pe scurt, astfel:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & : (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Procedeul nu s-a schimbat, doar că a apărut în plus un șapte. În acest pas nu mai putem efectua frumos împărțirea noii diferențe (acel șapte) la al doilea polinom. Rezultatul îl scriem pur și simplu ca șapte supra polinomul dat și îl adunăm la rezultatul intermediar.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & : (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

La înmulțirea înapoi cu al doilea polinom obținem șapte

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

și astfel obținem zero după scădere.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & : (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmul se oprește aici, am ajuns la zero.

Al treilea exemplu

Adăugăm la al doilea polinom încă un termen.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) : (3 x^{3} + 5)$

În primul pas împărțim primul termen al primului polinom la primul termen al celui de-al doilea, la fel ca în exemplele anterioare.

$6 x^{7} : 3 x^{3} = 2 x^{4}$

În pasul următor înmulțim acest rezultat intermediar cu întregul al doilea polinom și scădem din primul.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Scriem asta ordonat sub întregul calcul.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & : (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Continuăm: împărțim primul termen al noului polinom obținut la primul termen al celui de-al doilea polinom.

$9 x^{4} : 3 x^{3} = 3 x$

Înmulțim cu întregul al doilea polinom:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Scriem și scădem:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & : (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Aceasta nu se mai poate împărți rezonabil, așa că adunăm pur și simplu fracția celor două polinoame.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) : (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Dacă am efectua înapoi înmulțirea și scăderea, am obține imediat zero, ca în exemplul precedent. Facem verificarea. Înainte de o verificare amănunțită, putem încerca un test rapid. Înlocuim în expresii o valoare banală, de exemplu zero. Dacă înlocuim zero în rezultatul împărțirii, obținem

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Dacă înlocuim zero în expresiile pe care le împărțim, obținem

$(0 + 0 + 7) : (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Dacă transformarea noastră este corectă, ambele valori trebuie să dea același rezultat. După cum vedem, valorile sunt egale. Acest procedeu nu ne garantează corectitudinea completă, ar trebui să testăm toate valorile posibile pe care le putem pune în locul parametrului x, dar poate descoperi rapid o greșeală. Încercăm la fel și cu unu. Înlocuim în rezultat și obținem:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Înlocuim în expresiile inițiale și obținem

$(6 + 19 + 7) : (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Suntem pe drumul cel bun, dar pentru confirmarea finală trebuie să efectuăm întreaga înmulțire.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Capitole: Polinoame, Împărțirea polinoamelor, Rădăcina unui polinom, Descompunerea în factori

« Anterior: Polinoame

Următor: Rădăcina unui polinom »