División de polinomios

La división de polinomios es una operación nada trivial que se usa con relativa frecuencia al transformar y simplificar polinomios.

Primer ejemplo

La división de polinomios es bastante complicada, al menos en comparación con las operaciones anteriores. Sin embargo, el procedimiento es bastante parecido al de la división a mano de números. Veamos todo el algoritmo con ejemplos. Empecemos por uno sencillo, por ejemplo:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Suponemos que los dos polinomios están ordenados de mayor a menor grado y bien simplificados, es decir, que lo que se podía sumar ya lo hemos sumado. No es esencial para el algoritmo, pero facilita los cálculos. En el primer paso dividimos el primer término del primer polinomio entre el primer término del segundo (aquí el segundo polinomio tiene un solo término, así que su primer término coincide con el polinomio entero). Es decir, hacemos la operación

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

La división de estos términos básicos funciona al revés que la multiplicación, así que no debería haber ninguna sorpresa. Como es el primer paso, lo escribimos en la expresión original que queremos calcular

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

y continuamos con el segundo paso. Multiplicamos nuestro resultado provisional por el segundo polinomio, es decir, por el polinomio entre el que dividimos.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Este resultado lo restamos del primer polinomio entero. Lo escribimos debajo del primer polinomio, más o menos así:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

En este momento nos ha quedado debajo de la línea un resultado y le aplicamos el mismo procedimiento que al polinomio original. Lo dividimos entre el primer término del segundo polinomio.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Este resultado lo sumamos al resultado provisional anterior:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Y de nuevo multiplicamos por cuatro todo el segundo polinomio

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

y lo restamos de lo que quedó debajo de la línea.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Tras la resta queda cero y el algoritmo termina. En el lado derecho tenemos el resultado de la división. Si queremos hacer la comprobación, multiplicamos el polinomio obtenido por el segundo polinomio y tenemos que obtener el primer polinomio.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Segundo ejemplo

Modifiquemos ligeramente el enunciado anterior y probemos a calcular

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

El cálculo transcurrirá igual que en el ejemplo anterior, solo que después de cada resta el resultado será siete unidades mayor. En resumen, el cálculo sería así:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

El procedimiento no ha cambiado, solo que ha aparecido un siete. En este paso ya no podemos dividir de forma limpia la nueva diferencia (ese siete) entre el segundo polinomio. Simplemente escribimos el resultado como siete partido por el polinomio dado y lo sumamos al resultado provisional.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Al multiplicar de nuevo por el segundo polinomio obtenemos el siete

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

y por tanto la resta da cero.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Aquí el algoritmo termina, hemos llegado a cero.

Tercer ejemplo

Ampliamos el segundo polinomio con un término más.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

En el primer paso dividimos el primer término del primer polinomio entre el primer término del segundo, igual que en los ejemplos anteriores.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

En el paso siguiente multiplicamos este resultado provisional por el segundo polinomio entero y lo restamos del primero.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Lo anotamos de forma ordenada debajo de todo el ejercicio.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Seguimos adelante: dividimos el primer término del nuevo polinomio entre el primer término del segundo polinomio.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Multiplicamos por el segundo polinomio entero:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Lo anotamos y restamos:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Esto ya no se puede dividir de forma razonable, así que simplemente sumamos la fracción formada por los dos polinomios.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Si volviéramos a multiplicar y restar, obtendríamos enseguida cero, como en el ejemplo anterior. Hagamos la comprobación. Antes de hacer una comprobación completa, podemos hacer una prueba rápida. En las expresiones sustituimos x por algún valor sencillo, por ejemplo el cero. Si sustituimos x por cero en el resultado de la división, obtenemos

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Si sustituimos x por cero en las expresiones que dividimos, obtenemos

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Si nuestro cálculo es correcto, los dos valores tienen que dar el mismo resultado. Como vemos, los valores coinciden. Este procedimiento no nos garantiza que todo esté bien, porque tendríamos que probar todos los valores posibles por los que se puede sustituir x, pero en cambio puede detectar rápidamente un error. Probemos lo mismo con el uno. Sustituimos en el resultado y obtenemos:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Sustituimos en las expresiones originales y obtenemos

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Vamos por buen camino, pero para la confirmación final tenemos que hacer la multiplicación completa.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

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