Polynomdivision

Die Division von Polynomen ist eine nicht triviale Operation, die beim Umformen und Vereinfachen von Polynomen relativ oft verwendet wird.

Erstes Beispiel

Die Division von Polynomen ist schon eine ziemlich komplizierte Sache, zumindest im Vergleich zu den bisherigen Operationen. Das Vorgehen bei der Polynomdivision ist aber dem gewöhnlichen schriftlichen Dividieren recht ähnlich. Den ganzen Algorithmus zeigen wir an Beispielen. Beginnen wir mit einem einfachen, zum Beispiel:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Wir setzen voraus, dass beide Polynome absteigend geordnet und ordentlich vereinfacht sind – d. h., was wir zusammenfassen konnten, haben wir zusammengefasst. Für den Algorithmus ist das nicht wesentlich, aber es vereinfacht das Rechnen. Im ersten Schritt dividieren wir das erste Glied des ersten Polynoms durch das erste Glied des zweiten Polynoms (hier hat das zweite Polynom nur ein Glied, sodass das erste Glied des zweiten Polynoms zugleich dem ganzen zweiten Polynom entspricht). D. h., wir führen die Operation aus

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Die Division dieser einzelnen Glieder verläuft umgekehrt wie die Multiplikation, es sollte nichts Überraschendes dabei sein. Weil es der erste Schritt ist, schreiben wir das Ergebnis hinter den ursprünglichen Term, den wir berechnen wollen,

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

und fahren mit dem zweiten Schritt fort. Wir multiplizieren unser vorläufiges Ergebnis mit dem zweiten Polynom, d. h. mit dem Polynom, durch das wir dividieren.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Dieses Ergebnis subtrahieren wir vom gesamten ersten Polynom. Wir schreiben es unter das erste Polynom, etwa so:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Jetzt ist uns unter dem Strich ein Ergebnis übrig geblieben, und auf dieses Ergebnis wenden wir dasselbe Verfahren an wie auf das ursprüngliche Polynom. Wir dividieren es durch das erste Glied des zweiten Polynoms.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Dieses Ergebnis addieren wir zur bisherigen vorläufigen Lösung:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Und wieder multiplizieren wir das ganze zweite Polynom mit vier zurück

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

und subtrahieren es von dem, was unter dem Strich übrig geblieben ist.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Nach der Subtraktion bleibt null, der Algorithmus endet damit. Auf der rechten Seite haben wir das Ergebnis der Division. Wenn wir die Probe machen wollen, multiplizieren wir das entstandene Polynom mit dem zweiten Polynom und müssen das erste Polynom erhalten.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Zweites Beispiel

Wir verändern die vorige Aufgabe nur leicht und versuchen zu berechnen

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Die Rechnung verläuft die ganze Zeit genauso wie im vorigen Beispiel, nur ist das Ergebnis nach der Subtraktion immer um sieben größer. Die Rechnung würde also kurz so verlaufen:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Das Vorgehen hat sich nicht verändert, es ist nur die Sieben dazugekommen. In diesem Schritt können wir die neue Differenz (die Sieben) nicht mehr schön durch das zweite Polynom dividieren. Das Ergebnis schreiben wir einfach als sieben durch das gegebene Polynom und addieren es zum Zwischenergebnis.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Bei der Rückmultiplikation mit dem zweiten Polynom erhalten wir die Sieben

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

und damit erhalten wir bei der Differenz null.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Der Algorithmus endet hier, wir haben null erreicht.

Drittes Beispiel

Wir erweitern das zweite Polynom um ein weiteres Glied.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Im ersten Schritt dividieren wir das erste Glied des ersten Polynoms durch das erste Glied des zweiten, genau wie in den vorigen Beispielen.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Im nächsten Schritt multiplizieren wir dieses Zwischenergebnis mit dem ganzen zweiten Polynom und subtrahieren es vom ersten.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Wir schreiben es übersichtlich unter die ganze Aufgabe.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Wir machen weiter und dividieren das erste Glied des neu entstandenen Polynoms durch das erste Glied des zweiten Polynoms.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Wir multiplizieren mit dem ganzen zweiten Polynom:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Wir schreiben es auf und subtrahieren:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Das lässt sich nicht mehr vernünftig dividieren, also addieren wir einfach den Bruch aus beiden Polynomen.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Wenn wir noch rückwärts die Multiplikation und die Differenz ausführen würden, erhielten wir sofort null wie im letzten Beispiel. Wir machen die Probe. Bevor wir die gründliche Probe machen, können wir einen schnellen Test versuchen. Wir setzen in die Terme einen trivialen Wert ein, zum Beispiel null. Setzen wir in das Ergebnis der Division null ein, erhalten wir

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Setzen wir null in die Terme ein, die wir dividieren, erhalten wir

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Wenn unsere Umformung richtig ist, müssen beide Werte dasselbe Ergebnis liefern. Wie wir sehen, sind die Werte gleich. Dieses Vorgehen garantiert uns zwar nicht die vollständige Richtigkeit, wir müssten nämlich alle möglichen Werte testen, die wir für den Parameter x einsetzen können, aber es kann dafür schnell einen Fehler aufdecken. Versuchen wir dasselbe noch mit der Eins. Wir setzen in das Ergebnis ein und erhalten:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Wir setzen in die ursprünglichen Terme ein und erhalten

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Wir sind auf einem guten Weg, aber zur endgültigen Bestätigung müssen wir die ganze Multiplikation durchführen.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Kapitel: Polynome, Polynomdivision, Nullstelle eines Polynoms, Polynome in Faktoren zerlegen

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