Polinom osztása polinommal

A polinomok osztása nem triviális művelet, amelyet viszonylag gyakran használunk polinomok átalakításánál és egyszerűsítésénél.

Első példa

A polinomok osztása már elég bonyolult dolog, legalábbis az eddigi műveletekhez képest. A polinomok osztásának menete ugyanakkor eléggé hasonlít a hagyományos írásbeli osztáséhoz. Az egész algoritmust példákon mutatjuk meg. Kezdjük valami egyszerűvel, például:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Feltételezzük, hogy mindkét polinomot csökkenő sorrendbe rendeztük, és rendesen átalakítottuk – vagyis amit össze lehetett adni, azt összeadtuk. Az algoritmus szempontjából ez nem lényeges, de megkönnyíti a számolást. Az első lépésben az első polinom első tagját elosztjuk a második polinom első tagjával (itt a második polinomnak csak egy tagja van, így a második polinom első tagja egyben az egész második polinom). Tehát elvégezzük a műveletet:

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Ezeknek az alaptagoknak az osztása a szorzás fordítottja, nem lehet benne semmi meglepő. Mivel ez az első lépés, beírjuk az eredeti kifejezésbe, amelyet ki akarunk számolni:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

és folytatjuk a második lépéssel. Az ideiglenes eredményünket megszorozzuk a második polinommal, vagyis azzal, amellyel osztunk.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Ezt az eredményt kivonjuk az egész első polinomból. Az első polinom alá írjuk, nagyjából így:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Ebben a pillanatban a vonal alatt megmaradt egy eredmény, és erre ugyanazt az eljárást alkalmazzuk, mint az eredeti polinomra. Elosztjuk a második polinom első tagjával.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Ezt az eredményt hozzáadjuk az előző ideiglenes megoldáshoz:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

És megint visszaszorzunk: az egész második polinomot megszorozzuk néggyel

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

és kivonjuk abból, ami megmaradt a vonal alatt.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

A kivonás után nulla marad, az algoritmus ezzel véget ér. A jobb oldalon ott az osztás eredménye. Ha ellenőrizni akarjuk, a kapott polinomot megszorozzuk a második polinommal, és az első polinomot kell kapnunk.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Második példa

Az előző feladatot csak kicsit módosítjuk, és megpróbáljuk kiszámolni, mennyi

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

A számolás végig ugyanúgy zajlik, mint az előző példában, csak minden kivonás után az eredmény héttel nagyobb. A számolás röviden tehát így menne:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Az eljárás nem változott, csak megjelent benne a hetes. Ebben a lépésben az új különbséget (a hetest) már nem tudjuk szépen elosztani a második polinommal. Az eredményt egyszerűen törtként írjuk fel – hét osztva az adott polinommal –, és hozzáadjuk a részeredményhez.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Ha visszaszorozzuk a második polinommal, a hetest kapjuk

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

és így a különbség nulla lesz.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Az algoritmus itt véget ér, elértük a nullát.

Harmadik példa

A második polinomot kibővítjük még egy taggal.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Az első lépésben az első polinom első tagját elosztjuk a második első tagjával, ugyanúgy, mint az előző példákban.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

A következő lépésben ezt a részeredményt megszorozzuk az egész második polinommal, és kivonjuk az elsőből.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Áttekinthetően leírjuk az egész példa alá.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Folytatjuk: az újonnan kapott polinom első tagját elosztjuk a második polinom első tagjával.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Megszorozzuk az egész második polinommal:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Felírjuk, és kivonjuk:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Ezt már nem lehet értelmesen osztani, ezért egyszerűen hozzáadjuk a két polinomból álló törtet.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Ha visszafelé még elvégeznénk a szorzást és a kivonást, az előző példához hasonlóan azonnal nullát kapnánk. Végezzük el az ellenőrzést. Mielőtt alapos ellenőrzést végzünk, kipróbálhatunk egy gyors tesztet. Helyettesítsünk a kifejezésekbe valamilyen triviális értéket, például nullát. Ha az osztás eredményébe nullát helyettesítünk, azt kapjuk, hogy

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Ha a nullát az osztásban szereplő kifejezésekbe helyettesítjük, azt kapjuk, hogy

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Ha az átalakításunk helyes, a két értéknek ugyanazt az eredményt kell adnia. Mint látjuk, az értékek egyenlők. Ez az eljárás ugyan nem garantálja a teljes helyességet, hiszen az összes lehetséges értéket ki kellene próbálnunk, amelyet az x paraméter helyére behelyettesíthetünk, de gyorsan felfedhet egy hibát. Próbáljuk ki ugyanezt az 1-gyel is. Behelyettesítünk az eredménybe, és azt kapjuk, hogy:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Behelyettesítünk az eredeti kifejezésekbe, és azt kapjuk, hogy

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Jó úton járunk, de a végső megerősítéshez el kell végeznünk a teljes szorzást.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Fejezetek: Polinomok, Polinomok osztása, A polinom gyöke, Szorzattá alakítás

« Előző: Polinomok

Következő: A polinom gyöke »