Veeltermen delen door een veelterm

Het delen van veeltermen is een niet-triviale bewerking die relatief vaak wordt gebruikt bij het herleiden en vereenvoudigen van veeltermen.

Eerste voorbeeld

Het delen van polynomen is al een vrij ingewikkelde zaak, althans in vergelijking met de voorgaande bewerkingen. Toch lijkt de werkwijze bij het delen van veeltermen best op die van de gewone staartdeling. We laten het hele algoritme zien aan de hand van voorbeelden. We beginnen met een eenvoudig voorbeeld, bijvoorbeeld:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

We nemen aan dat beide polynomen in aflopende volgorde staan en goed herleid zijn — dus wat we konden optellen, hebben we opgeteld. Dat is voor het algoritme niet belangrijk, maar het maakt het rekenen eenvoudiger. In de eerste stap delen we de eerste term van de eerste veelterm door de eerste term van de tweede veelterm (hier heeft de tweede veelterm maar één term, dus de eerste term van de tweede veelterm is tegelijk de hele tweede veelterm). We voeren dus de volgende bewerking uit

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Het delen van deze losse termen gaat precies andersom als het vermenigvuldigen, er zou niets verrassends in moeten zitten. Omdat dit de eerste stap is, schrijven we het over in de oorspronkelijke uitdrukking die we willen uitrekenen

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

en gaan we door met de tweede stap. We vermenigvuldigen onze voorlopige uitkomst met de tweede veelterm, dus de veelterm waardoor we delen.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Deze uitkomst trekken we af van de hele eerste veelterm. We schrijven het onder de eerste veelterm op, ongeveer zo:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Onder de streep is nu een uitkomst overgebleven, en op die uitkomst passen we dezelfde werkwijze toe als op de oorspronkelijke veelterm. We delen die door de eerste term van de tweede veelterm.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Deze uitkomst tellen we op bij de vorige tussenuitkomst:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

En weer vermenigvuldigen we de hele tweede veelterm met vier

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

en trekken dat af van wat er onder de streep is overgebleven.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Na het aftrekken blijft er nul over, en daarmee eindigt het algoritme. Aan de rechterkant staat de uitkomst van het delen. Als we een controle willen uitvoeren, vermenigvuldigen we deze veelterm met de tweede veelterm, en dan moeten we de eerste veelterm krijgen.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Tweede voorbeeld

We passen de vorige opgave maar een beetje aan en proberen uit te rekenen

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

De berekening verloopt de hele tijd hetzelfde als in het vorige voorbeeld, alleen is de uitkomst na het aftrekken steeds zeven groter. In het kort gaat de berekening dus zo:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

De werkwijze is niet veranderd, er is alleen een zeven bij gekomen. In deze stap kunnen we het nieuwe verschil (die zeven) niet meer netjes door de tweede veelterm delen. De uitkomst schrijven we gewoon op als zeven gedeeld door de gegeven veelterm en tellen we op bij de tussenuitkomst.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Als we terug vermenigvuldigen met de tweede veelterm, krijgen we de zeven

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

en daardoor krijgen we na het aftrekken nul.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Het algoritme eindigt hier, we hebben nul bereikt.

Derde voorbeeld

We breiden de tweede veelterm uit met nog een term.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

In de eerste stap delen we de eerste term van de eerste veelterm door de eerste term van de tweede, net als in de vorige voorbeelden.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

In de volgende stap vermenigvuldigen we deze tussenuitkomst met de hele tweede veelterm en trekken we het af van de eerste.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

We schrijven het overzichtelijk onder de hele opgave.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

We gaan verder en delen de eerste term van de nieuw ontstane veelterm door de eerste term van de tweede veelterm.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

We vermenigvuldigen met de hele tweede veelterm:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

We schrijven op en trekken af:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Dit kunnen we niet meer zinvol delen, dus we tellen gewoon de breuk van beide veeltermen erbij op.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Als we nog terug zouden vermenigvuldigen en aftrekken, zouden we meteen nul krijgen, net als in het vorige voorbeeld. We doen de controle. Voordat we een grondige controle doen, kunnen we een snelle test proberen. We vullen in de uitdrukkingen een triviale waarde in, bijvoorbeeld nul. Als we in de uitkomst van het delen nul invullen, krijgen we

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Als we nul invullen in de uitdrukkingen die we delen, krijgen we

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Als onze herleiding klopt, moeten beide waarden dezelfde uitkomst geven. Zoals we zien, zijn de waarden gelijk. Deze werkwijze garandeert niet dat alles helemaal klopt, want daarvoor zouden we alle mogelijke waarden moeten testen die we voor de variabele x kunnen invullen, maar ze kan wel snel een fout aan het licht brengen. We proberen hetzelfde nog met één. We vullen het in de uitkomst in en krijgen:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

We vullen in de oorspronkelijke uitdrukkingen in en krijgen

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Het ziet er goed uit, maar voor de definitieve bevestiging moeten we het hele vermenigvuldigen uitvoeren.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Hoofdstukken: Veeltermen, Veeltermen delen door een veelterm, Nulpunt van een veelterm (polynoom), Veeltermen ontbinden in factoren

« Vorige: Veeltermen

Volgende: Nulpunt van een veelterm (polynoom) »