Division de polynômes par un polynôme

La division de polynômes est une opération non triviale, qui est assez souvent utilisée lors de la transformation et de la simplification de polynômes.

Premier exemple

La division de polynômes est assez délicate, du moins comparée aux opérations précédentes. Pourtant, la méthode ressemble beaucoup à la division posée ordinaire. Nous présenterons l’algorithme complet sur des exemples. Commençons par un exemple simple :

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Supposons que les deux polynômes soient ordonnés par degré décroissant et correctement réduits, c’est-à-dire que les termes semblables ont été additionnés. Ce n’est pas essentiel pour l’algorithme, mais cela simplifie le calcul. À la première étape, on divise le premier terme du premier polynôme par le premier terme du second polynôme (ici le second polynôme ne comporte qu’un seul terme, donc son premier terme est aussi tout le second polynôme). Autrement dit, on effectue l’opération

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

La division de ces termes de base se fait à l’inverse de la multiplication, rien de surprenant. Comme c’est la première étape, on reporte ce résultat dans l’expression initiale que l’on veut calculer

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

et l’on passe à la deuxième étape : on multiplie le résultat provisoire par le second polynôme, c’est-à-dire par le polynôme diviseur.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

On soustrait ce résultat de l’ensemble du premier polynôme. On l’écrit sous le premier polynôme, à peu près ainsi :

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Sous la barre subsiste donc un reste, auquel on applique le même procédé que pour le polynôme initial : on le divise par le premier terme du second polynôme.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

On ajoute ce résultat au résultat provisoire précédent :

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Puis on multiplie à nouveau tout le second polynôme par quatre :

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

et l’on soustrait ce produit de ce qui reste sous la barre.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Il reste zéro après la soustraction, l’algorithme s’arrête ici. Nous obtenons à droite le résultat de la division. Pour une vérification, on multiplie le polynôme obtenu par le second polynôme, et l’on doit retrouver le premier polynôme.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Deuxième exemple

Modifions légèrement l’énoncé précédent et calculons

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Le calcul se déroule exactement comme dans l’exemple précédent, sauf qu’à chaque fois, après la soustraction, il reste un sept en plus. Le calcul se présente donc brièvement ainsi :

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

La procédure ne change pas, seul le sept s’ajoute. À ce stade, on ne peut plus diviser simplement cette nouvelle différence (le sept) par le second polynôme. On écrit donc le résultat comme sept divisé par le polynôme donné, et on l’ajoute au résultat intermédiaire.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

En multipliant à rebours par le second polynôme, on obtient le sept :

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

et donc, après la soustraction, on obtient zéro.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

L’algorithme s’achève ici, nous avons obtenu zéro.

Troisième exemple

Ajoutons un terme supplémentaire au second polynôme.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

À la première étape, on divise le premier terme du premier polynôme par le premier terme du second, comme dans les exemples précédents.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

À l’étape suivante, on multiplie ce résultat intermédiaire par le second polynôme tout entier, et on le soustrait du premier.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Présentons cela clairement sous l’expression entière.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

On poursuit : on divise le premier terme du polynôme nouvellement obtenu par le premier terme du second polynôme.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

On multiplie par le second polynôme tout entier :

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

On écrit et on soustrait :

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

On ne peut plus raisonnablement diviser cela : on ajoute donc la fraction formée par les deux polynômes restants.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Si l’on effectuait en retour la multiplication et la soustraction, on obtiendrait immédiatement zéro, comme dans l’exemple précédent. Faisons une vérification. Avant la vérification complète, on peut faire un test rapide : on substitue une valeur simple, par exemple zéro. Si l’on substitue zéro dans le résultat de la division, on obtient

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Si l’on substitue zéro dans les expressions que l’on divise, on obtient

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Si notre transformation est correcte, les deux valeurs doivent donner le même résultat. Comme on le voit, les valeurs sont égales. Ce procédé ne garantit pas une exactitude totale, il faudrait en effet tester toutes les valeurs possibles du paramètre x, mais il permet de repérer rapidement une erreur. Essayons encore avec un. On substitue dans le résultat et on obtient :

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

On substitue dans les expressions initiales et on obtient

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

On est sur la bonne voie, mais pour la confirmation finale, il faut effectuer toute la multiplication.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

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