Division af polynomier

Division af polynomier er en ikke-triviel operation, som ret ofte bruges til at omforme og forenkle polynomier.

Første eksempel

Division af polynomier er allerede en ret kompliceret ting, i hvert fald i sammenligning med de foregående operationer. Fremgangsmåden ved division af polynomier minder dog ret meget om almindelig division i hånden. Hele algoritmen viser vi på eksempler. Lad os begynde med et simpelt, for eksempel:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Vi antager, at begge polynomier er ordnet med faldende eksponenter og ordentligt reduceret — altså at det, vi kunne lægge sammen, har vi lagt sammen. Det er ikke afgørende for algoritmen, men det gør regningen enklere. I første skridt dividerer vi det første led i det første polynomium med det første led i det andet polynomium (her har det andet polynomium kun ét led, så det første led i det andet polynomium er samtidig lig med hele det andet polynomium). Altså udfører vi operationen

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Division af disse grundlæggende led foregår omvendt af multiplikation, der er ikke noget overraskende i det. Fordi det er første skridt, skriver vi det ind i det oprindelige udtryk, som vi vil beregne

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

og fortsætter med andet skridt. Vi ganger vores midlertidige resultat med det andet polynomium, altså det polynomium, som vi dividerer med.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Dette resultat trækker vi fra hele det første polynomium. Vi skriver det under det første polynomium, omtrent sådan her:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Nu er der under stregen et resultat tilbage, og på dette resultat anvender vi den samme fremgangsmåde som på det oprindelige polynomium. Vi dividerer det med det første led i det andet polynomium.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Dette resultat lægger vi til den foregående midlertidige løsning:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Og igen ganger vi hele det andet polynomium med fire

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

og trækker det fra det, der var tilbage under stregen.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Efter subtraktionen er der nul tilbage, og algoritmen slutter hermed. På højre side har vi resultatet af divisionen. Hvis vi vil lave en prøve, ganger vi det opståede polynomium med det andet polynomium, og vi skal få det første polynomium.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Andet eksempel

Vi ændrer blot den foregående opgave lidt og prøver at beregne

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Regningen forløber hele tiden på samme måde som i det foregående eksempel, bortset fra at resultatet efter hver subtraktion er syv større. Regningen ville altså kort fortalt forløbe sådan her:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Fremgangsmåden har ikke ændret sig, der er bare kommet en syver til. I dette skridt kan vi ikke længere dividere den nye differens (syveren) med det andet polynomium på en pæn måde. Resultatet skriver vi simpelthen som syv over det givne polynomium og lægger det til delresultatet.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Når vi ganger baglæns med det andet polynomium, får vi syv

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

og dermed får vi nul, når vi trækker fra.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmen slutter her, vi har nået nul.

Tredje eksempel

Vi udvider det andet polynomium med endnu et led.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

I første skridt dividerer vi det første led i det første polynomium med det første led i det andet, ligesom i de foregående eksempler.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

I næste skridt ganger vi dette delresultat med hele det andet polynomium og trækker fra det første.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Vi skriver det overskueligt under hele eksemplet.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Vi fortsætter, vi dividerer det første led i det nyopståede polynomium med det første led i det andet polynomium.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Vi ganger med hele det andet polynomium:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Vi skriver og trækker fra:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Dette kan ikke længere fornuftigt divideres, så vi lægger blot brøken af begge polynomier til.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Hvis vi også her gangede tilbage og trak fra, ville vi straks få nul som i det foregående eksempel. Vi laver en prøve. Før vi laver en grundig prøve, kan vi prøve en hurtig test. Vi indsætter en triviel værdi i udtrykkene, for eksempel nul. Hvis vi indsætter nul i resultatet efter divisionen, får vi

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Hvis vi indsætter nul i de udtryk, som vi dividerer, får vi

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Hvis vores omformning er rigtig, skal begge værdier give det samme resultat. Som vi ser, er værdierne lige store. Denne fremgangsmåde garanterer os ganske vist ikke fuldstændig rigtighed, vi skulle nemlig teste alle mulige værdier, som vi kan indsætte for parameteren x, men den kan til gengæld hurtigt afsløre en fejl. Vi prøver det samme med 1. Vi indsætter i resultatet og får:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Vi indsætter i de oprindelige udtryk og får

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Det ser lovende ud, men for at få endelig bekræftelse må vi udføre hele multiplikationen.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Kapitler: Polynomier, Division af polynomier, Rod i et polynomium, Opløsning af polynomier i faktorer

« Forrige: Polynomier

Næste: Rod i et polynomium »