Polynomien jakolasku polynomilla

Polynomien jakolasku on ei-triviaali laskutoimitus, jota käytetään suhteellisen usein polynomien muokkaamisessa ja sieventämisessä.

Ensimmäinen esimerkki

Polynomien jakolasku on jo melko monimutkaista, ainakin aiempiin laskutoimituksiin verrattuna. Polynomien jakamisen menetelmä on kuitenkin melko samanlainen kuin tavallinen kirjallinen jakolasku. Näytämme koko algoritmin esimerkeillä. Aloitetaan jollakin yksinkertaisella, esimerkiksi:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Oletamme, että molemmat polynomit on järjestetty laskevaan järjestykseen ja sievennetty kunnolla, eli mitä oli mahdollista laskea yhteen, se on laskettu. Se ei ole algoritmin kannalta oleellista, mutta se helpottaa laskemista. Ensimmäisessä vaiheessa jaamme ensimmäisen polynomin ensimmäisen termin toisen polynomin ensimmäisellä termillä (tässä toisessa polynomissa on vain yksi termi, joten toisen polynomin ensimmäinen termi on samalla koko toinen polynomi). Siis suoritamme laskun

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Näiden perustermien jakaminen toimii päinvastoin kuin kertominen, siinä ei pitäisi olla mitään yllättävää. Koska kyseessä on ensimmäinen vaihe, kirjoitamme tuloksen alkuperäiseen lausekkeeseen, jonka haluamme laskea

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

ja jatkamme toiseen vaiheeseen. Kerromme väliaikaisen tuloksemme toisella polynomilla eli polynomilla, jolla jaamme.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Tämä tulo vähennetään koko ensimmäisestä polynomista. Kirjoitamme sen ensimmäisen polynomin alle, suunnilleen näin:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Nyt viivan alle jäi tulos, ja tähän tulokseen sovellamme samaa menetelmää kuin alkuperäiseen polynomiin. Jaamme sen toisen polynomin ensimmäisellä termillä.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Tämä tulos lisätään edelliseen väliaikaiseen ratkaisuun:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Ja taas kerromme neljällä koko toisen polynomin

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

ja vähennämme sen siitä, mitä viivan alle jäi.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Vähennyksen jälkeen jäljelle jää nolla, ja algoritmi päättyy tähän. Oikealla puolella on jakolaskun tulos. Jos haluamme tarkistaa laskun, kerromme tämän saadun polynomin toisella polynomilla, ja tuloksena on saatava ensimmäinen polynomi.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Toinen esimerkki

Muutetaan edellistä tehtävänantoa vain hieman ja yritetään laskea

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Lasku etenee koko ajan samoin kuin edellisessä esimerkissä, mutta vähennyksen jälkeen tulos on aina seitsemällä suurempi. Lasku etenisi siis lyhyesti näin:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Menetelmä ei muuttunut, ainoastaan mukaan tuli seitsemän. Tässä vaiheessa uutta erotusta (seitsemää) ei voi enää jakaa toisella polynomilla kauniisti. Kirjoitamme tuloksen yksinkertaisesti seitsemän jaettuna annetulla polynomilla ja lisäämme sen välitulokseen.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Kun kerromme takaisin toisella polynomilla, saamme seitsemän

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

ja näin erotukseksi saadaan nolla.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmi päättyy tähän, olemme päässeet nollaan.

Kolmas esimerkki

Laajennetaan toista polynomia vielä yhdellä termillä.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Ensimmäisessä vaiheessa jaamme ensimmäisen polynomin ensimmäisen termin toisen ensimmäisellä termillä, aivan kuten aiemmissa esimerkeissä.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Seuraavassa vaiheessa kerromme tämän välituloksen koko toisella polynomilla ja vähennämme sen ensimmäisestä.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Kirjoitetaan se selkeästi koko tehtävän alle.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Jatketaan, jaetaan uuden polynomin ensimmäinen termi toisen polynomin ensimmäisellä termillä.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Kerromme koko toisella polynomilla:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Kirjoitetaan ja vähennetään:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Tätä ei voi enää järkevästi jakaa, joten lisätään yksinkertaisesti molempien polynomien muodostama murtoluku.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Jos tekisimme vielä jälkikäteen kertolaskun ja erotuksen, saisimme heti nollan kuten edellisessä esimerkissä. Tehdään tarkistus. Ennen perusteellista tarkistusta voimme kokeilla nopeaa testiä. Sijoitetaan lausekkeisiin jokin triviaali arvo, esimerkiksi nolla. Jos sijoitamme nollan jakolaskun tulokseen, saamme

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Jos sijoitamme nollan lausekkeisiin, jotka jaamme, saamme

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Jos laskumme on oikein, molempien arvojen on annettava sama tulos. Kuten näemme, arvot ovat yhtä suuret. Tämä menetelmä ei takaa täyttä oikeellisuutta, koska meidän pitäisi testata kaikki mahdolliset arvot, jotka voimme sijoittaa muuttujan x paikalle, mutta toisaalta se voi paljastaa virheen nopeasti. Kokeillaan vielä samaa ykkösellä. Sijoitetaan tulokseen, ja saadaan:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Sijoitetaan alkuperäisiin lausekkeisiin, ja saadaan

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Olemme hyvällä tiellä, mutta lopullista varmistusta varten meidän on tehtävä koko kertolasku.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Luvut: Polynomit, Polynomien jakolasku polynomilla, Polynomin nollakohta, Polynomin jakaminen tekijöihin

« Edellinen: Polynomit

Seuraava: Polynomin nollakohta »