Polynomdivision

Division av polynom är en inte helt enkel operation som ganska ofta används när man förenklar polynom.

Första exemplet

Division av polynom är en ganska svår sak, åtminstone jämfört med de tidigare räknesätten. Själva tillvägagångssättet är dock ganska likt vanlig uppställning vid division för hand. Hela algoritmen visar vi på exempel. Vi börjar med ett enkelt, till exempel:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Vi förutsätter att båda polynomen är ordnade i fallande ordning och ordentligt förenklade – alltså att vi har adderat det som gick att addera. Det är inte nödvändigt för algoritmen, men det gör räkningen enklare. I det första steget dividerar vi den första termen i det första polynomet med den första termen i det andra polynomet (här har det andra polynomet bara en term, så den första termen i det andra polynomet är samtidigt lika med hela det andra polynomet). Alltså utför vi operationen

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Division av de här enkla termerna går till som multiplikation fast baklänges, så det borde inte finnas något överraskande i det. Eftersom det är det första steget skriver vi in det i det ursprungliga uttrycket som vi vill beräkna

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

och fortsätter med det andra steget. Vi multiplicerar vårt preliminära resultat med det andra polynomet, alltså det polynom som vi dividerar med.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Den här produkten subtraherar vi från hela det första polynomet. Vi skriver det under det första polynomet, ungefär så här:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Nu har vi fått något kvar under strecket, och på det tillämpar vi samma tillvägagångssätt som på det ursprungliga polynomet. Vi dividerar det med den första termen i det andra polynomet.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Det här resultatet adderar vi till den tidigare preliminära lösningen:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Och återigen multiplicerar vi tillbaka hela det andra polynomet med fyra

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

och subtraherar det från det som blev kvar under strecket.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Efter subtraktionen blir det noll kvar, och därmed är algoritmen slut. På högra sidan har vi resultatet av divisionen. Om vi vill göra en kontroll multiplicerar vi det polynom vi fått med det andra polynomet, och då måste vi få det första polynomet.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Andra exemplet

Vi ändrar bara uppgiften lite grann och försöker beräkna

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Beräkningen går hela tiden till på samma sätt som i det föregående exemplet, bara att resultatet efter varje subtraktion blir sju större. Beräkningen går alltså i korthet till så här:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Tillvägagångssättet har inte ändrats, vi har bara fått med en sjua. I det här steget kan vi inte på något snyggt sätt dividera den nya differensen (sjuan) med det andra polynomet. Vi skriver resultatet helt enkelt som sju delat med det givna polynomet och adderar det till delresultatet.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

När vi multiplicerar tillbaka med det andra polynomet får vi sjuan

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

och därmed får vi noll som differens.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmen slutar här, vi har nått noll.

Tredje exemplet

Vi utökar det andra polynomet med ytterligare en term.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

I det första steget dividerar vi den första termen i det första polynomet med den första termen i det andra, precis som i de föregående exemplen.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

I nästa steg multiplicerar vi det här delresultatet med hela det andra polynomet och subtraherar från det första.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Vi skriver upp det överskådligt under hela exemplet.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Vi fortsätter och dividerar den första termen i det nyss framkomna polynomet med den första termen i det andra polynomet.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Vi multiplicerar med hela det andra polynomet:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Vi skriver upp och subtraherar:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Det här går inte längre att dividera på något rimligt sätt, så vi adderar helt enkelt de båda polynomen skrivna som ett bråk.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Om vi nu multiplicerade tillbaka och subtraherade skulle vi genast få noll som i det förra exemplet. Vi gör en kontroll. Innan vi gör en ordentlig kontroll kan vi pröva ett snabbt test. Vi sätter in något trivialt värde i uttrycken, till exempel noll. Om vi sätter in noll i resultatet av divisionen får vi

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Om vi sätter in noll i uttrycken som vi dividerar får vi

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Om vår omformning är rätt måste båda värdena ge samma resultat. Som vi ser är värdena lika. Det här tillvägagångssättet garanterar visserligen inte att allt är helt rätt, för då skulle vi behöva testa alla möjliga värden som vi kan sätta in för variabeln x, men det kan snabbt avslöja ett fel. Vi provar samma sak med ettan. Vi sätter in i resultatet och får:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Vi sätter in i de ursprungliga uttrycken och får

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Det ser lovande ut, men för att få en slutgiltig bekräftelse måste vi göra hela multiplikationen.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Kapitel: Polynom, Polynomdivision, Nollställen till polynom, Faktorisering av polynom

« Föregående: Polynom

Nästa: Nollställen till polynom »