Polynomdivisjon

Divisjon av polynomer er en ikke-triviell operasjon som ofte brukes når vi omformer og forenkler polynomer.

Første eksempel

Divisjon av polynomer er ganske komplisert, i hvert fall sammenlignet med de forrige operasjonene. Men framgangsmåten ved polynomdivisjon ligner ganske mye på vanlig skriftlig divisjon. Vi viser hele algoritmen med eksempler. La oss begynne med et enkelt, for eksempel:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Vi forutsetter at begge polynomene er ordnet med synkende eksponenter og ordentlig forenklet — det vil si at vi har lagt sammen det som kunne legges sammen. Det er ikke avgjørende for algoritmen, men det gjør regningen enklere. I det første trinnet dividerer vi det første leddet i det første polynomet med det første leddet i det andre polynomet (her har det andre polynomet bare ett ledd, så det første leddet i det andre polynomet er samtidig lik hele det andre polynomet). Vi utfører altså operasjonen

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Divisjonen av disse leddene går motsatt vei av multiplikasjon, så det skulle ikke være noe overraskende her. Siden dette er det første trinnet, skriver vi det inn i det opprinnelige uttrykket vi vil regne ut

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

og fortsetter med det andre trinnet. Vi multipliserer det midlertidige resultatet vårt med det andre polynomet, altså polynomet vi dividerer med.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Dette resultatet trekker vi fra hele det første polynomet. Vi skriver det under det første polynomet, omtrent slik:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Nå står det et resultat igjen under streken, og på det bruker vi den samme framgangsmåten som på det opprinnelige polynomet. Vi dividerer det med det første leddet i det andre polynomet.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Dette resultatet legger vi til det forrige midlertidige resultatet:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Og igjen multipliserer vi hele det andre polynomet med fire

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

og trekker det fra det som sto igjen under streken.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Etter subtraksjonen står det null igjen, og algoritmen er ferdig. På høyre side har vi resultatet av divisjonen. Hvis vi vil gjøre prøve, multipliserer vi dette polynomet med det andre polynomet, og da må vi få det første polynomet.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Andre eksempel

Vi endrer den forrige oppgaven bare litt og prøver å regne ut

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Utregningen går hele tiden som i det forrige eksempelet, bare at resultatet etter hver subtraksjon er sju større. Kort fortalt går utregningen slik:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Framgangsmåten er den samme, det er bare kommet til en sjuer. I dette trinnet kan vi ikke dividere den nye differansen (sjuen) med det andre polynomet på noen pen måte. Vi skriver bare resultatet som sju delt på det gitte polynomet og legger det til mellomresultatet.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Når vi multipliserer tilbake med det andre polynomet, får vi sju

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

og dermed får vi null etter subtraksjonen.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritmen er ferdig her, vi har kommet til null.

Tredje eksempel

Vi utvider det andre polynomet med et ledd til.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

I det første trinnet dividerer vi det første leddet i det første polynomet med det første leddet i det andre, akkurat som i de forrige eksemplene.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

I neste trinn multipliserer vi dette mellomresultatet med hele det andre polynomet og trekker det fra det første.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Vi skriver det oversiktlig under hele oppgaven.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Vi fortsetter og dividerer det første leddet i det nye polynomet med det første leddet i det andre polynomet.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Vi multipliserer med hele det andre polynomet:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Vi skriver og trekker fra:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Dette kan vi ikke dividere videre på noen fornuftig måte, så vi legger bare til brøken av de to polynomene.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Hvis vi også multipliserte tilbake og tok differansen, ville vi med en gang fått null, som i det forrige eksempelet. Vi gjør prøve. Før vi gjør en grundig prøve, kan vi prøve en rask test. Vi setter inn en triviell verdi i uttrykkene, for eksempel null. Hvis vi setter null inn i resultatet av divisjonen, får vi

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Hvis vi setter null inn i uttrykkene vi dividerer, får vi

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Hvis omformingen vår er riktig, må begge verdiene gi samme resultat. Som vi ser, er verdiene like. Denne metoden garanterer ikke at alt er riktig, vi måtte nemlig teste alle mulige verdier vi kan sette inn for x, men den kan derimot raskt avsløre en feil. Vi prøver det samme med én. Vi setter inn i resultatet og får:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Vi setter inn i de opprinnelige uttrykkene og får

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Dette ser bra ut, men for å bekrefte det endelig må vi gjøre hele multiplikasjonen.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Kapitler: Polynomer, Polynomdivisjon, Nullpunkt til et polynom, Faktorisering av polynomer

« Forrige: Polynomer

Neste: Nullpunkt til et polynom »