Üçgenin Kenarortayı

Üçgenin kenarortayı, üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Bir üçgenin tam olarak üç kenarortayı vardır ve bunların kesişim noktası üçgenin ağırlık merkezini oluşturur.

Örnek

Kenarortayları çizilmiş şu üçgene bak: Kenarortaylar kırmızıyla gösterilmiştir. Üçgenin yüksekliklerinde olduğu gibi burada da kenarortayları bir harf ve alt indisle gösteririz: V harfini kullanırız, alt indis ise kenarortayın hangi köşeden çıktığını belirtir. A köşesinin karşısında a kenarı bulunduğundan, bu kenarortayın adı V_a olur.

Her kenarortay, üçgeni alanları eşit iki üçgene böler. Üçgenin yüksekliğinden farklı olarak, kenarortaylar her türlü üçgende aynı görünür.

Doğru Parçasının Orta Noktası

M_a, M_b ve M_c noktaları ilgili kenarların, yani doğru parçalarının orta noktalarıdır. Orta noktayı pergel ve cetvelle çizerek bulabilirsin. Örneğin AB kenarının orta noktasını bulmak için A ve B köşelerini merkez alan, eşit büyüklükte iki çember çiz. Bu çemberlerin yarıçapı AB doğru parçasının uzunluğunun yarısından büyük olmalıdır — ama iki çemberde de aynı olmalıdır! Ya tahmin et ya da yarıçapı AB kenarının uzunluğu kadar alarak çemberleri çiz. Bu iki çember iki noktada kesişir. Bu noktaları bir doğru parçasıyla birleştir; bu doğru parçasının AB kenarını kestiği yerde AB kenarının orta noktası bulunur.

Şekilde yeşille üçgenin ağırlık merkezi vurgulanmıştır; bu nokta bir bakıma üçgenin merkezidir.

Ağırlık Merkezi

Bütün kenarortaylar her zaman tek bir noktada kesişir. Doğru çizip çizmediğini böyle anlarsın. Tek bir noktada kesişmiyorlarsa ya özensiz ya da baştan yanlış çizmişsin demektir. Ağırlık merkezi her zaman üçgenin içindedir; diklik merkezinden farklı olarak, diklik merkezi üçgenin dışında da olabilir.

Ağırlık merkezi bir bakıma üçgenin merkezidir: üçgeni kalem ucunda dengede tutmak istersen kalemi tam ağırlık merkezinin altına koymalısın ki üçgen düşmesin.

Ağırlık merkezi ayrıca kenarortayları 1:2 oranında böler. Yani kenarortayın uzunluğunun üçte ikisi ağırlık merkezinin bir tarafında, kalan üçte biri diğer tarafında yer alır. Uzun parça her zaman üçgenin “köşesine doğru” olan, “kenar tarafındaki” parça ise daha kısa olandır. Şekle bak:

AG doğru parçasının (mavi) uzunluğu, GM_a doğru parçasının (yeşil) uzunluğunun iki katıdır. Üstelik AD, DG ve GM_a doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Diğer kenarortaylar için de durum aynıdır.

Orta Taban

Orta taban, uç noktaları üçgenin kenarlarının orta noktaları olan doğru parçasıdır. Şekli incele:

M_a, M_b ve M_c noktaları kenarların orta noktalarıdır; bu kısım kenarortaylardakiyle aynı. Orta tabanı oluşturmak için bu noktalardan ikisini bir doğru parçasıyla birleştirmemiz yeterli oldu. Orta tabanları s harfi ve bir alt indisle gösteririz; alt indise karşıdaki köşenin adını yazarız. Oluşan üçgene orta taban üçgeni denir. İlginç bir bilgi: bu orta taban üçgeninin ağırlık merkezi, asıl üçgenin ağırlık merkeziyle aynıdır. Bizim örneğimizde bu G noktasıdır.

Kenarortay Uzunluğunun Hesabı

Kenarortayın uzunluğunu hesaplamak için Apollonius teoremini kullanabiliriz. a, b, c üçgenin ilgili kenarlarının uzunlukları, V_a, V_b ve V_c de kenarortayların uzunlukları olsun:

$$\begin{array}{rcl}{V}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ V_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ V_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$