Médianes d’un triangle

Une médiane d’un triangle est un segment qui relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé. Un triangle a exactement trois médianes, et leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle.

Illustration

Regarde le triangle suivant, dont les médianes sont tracées : Les médianes sont tracées en rouge. Comme pour les hauteurs d’un triangle, on note une médiane par une lettre, ici m, suivie d’un indice qui précise le sommet dont elle est issue. Comme le côté a est en face du sommet A, la médiane issue de A s’appelle m_a.

Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. Contrairement à la hauteur d’un triangle, les médianes se placent de la même façon dans tous les types de triangles.

Milieu d’un segment

Les trois points A', B' et C' sont les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. Tu peux trouver un milieu avec un compas et une règle. Par exemple, pour trouver le milieu du côté [AB], trace deux cercles de même rayon centrés en A et en B. Leur rayon doit être supérieur à la moitié de la longueur AB – mais il doit être le même pour les deux cercles ! Estime-le à l’œil, ou prends simplement un rayon égal à la longueur du côté AB. Les deux cercles se coupent en deux points. Relie ces points par un segment : là où ce segment coupe le côté [AB] se trouve le milieu de [AB].

Le centre de gravité du triangle, en vert sur la figure, est une sorte de centre du triangle.

Centre de gravité

Les trois médianes se coupent toujours en un seul point. C’est comme cela que tu sais si tu as bien tracé : si elles se coupent à des endroits différents, ton tracé n’était pas précis, ou alors carrément raté. Le centre de gravité est toujours à l’intérieur du triangle, contrairement à l’orthocentre, qui peut aussi se trouver à l’extérieur.

Le centre de gravité est le « centre » du triangle : si tu voulais faire tenir un triangle en équilibre sur la pointe d’un crayon, il faudrait placer le crayon exactement sous le centre de gravité pour que le triangle ne tombe pas.

Le centre de gravité partage aussi chaque médiane dans le rapport 1 : 2. Cela signifie que deux tiers de la longueur de la médiane se trouvent d’un côté du centre de gravité et le dernier tiers de l’autre. La partie la plus longue est toujours du côté du sommet du triangle, la plus courte du côté du milieu du côté. Regarde la figure :

La longueur AG (segment bleu) est le double de la longueur GA' (segment vert). Les segments [AD], [DG] et [GA'] ont d’ailleurs la même longueur. Il en va de même pour les autres médianes.

Droite des milieux

Une droite des milieux passe par les milieux de deux côtés du triangle ; ici, on s’intéresse au segment qui relie ces deux milieux. Observe la figure :

Les points A', B' et C' sont les milieux des côtés, comme pour les médianes. Pour obtenir les droites des milieux, il suffit de relier ces points deux à deux par un segment. Chaque droite des milieux est opposée à un sommet : [A'B'] est opposée à C, [B'C'] à A et [A'C'] à B. Le triangle ainsi obtenu s’appelle le triangle médian. Fait curieux : le centre de gravité de ce triangle médian est le même que celui du triangle de départ. Ici, c’est le point G.

Calcul de la longueur d’une médiane

Pour calculer la longueur d’une médiane, on peut utiliser le théorème de la médiane (théorème d’Apollonius). Supposons que a, b, c soient les longueurs des côtés du triangle, et de même m_a, m_b et m_c les longueurs des médianes :

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$