Median i en triangel

En median i en triangel är en sträcka som förbinder ett hörn i triangeln med mittpunkten på den motstående sidan. En triangel har exakt tre medianer och deras skärningspunkt är triangelns tyngdpunkt.

Exempel

Titta på följande triangel med medianerna markerade: Medianerna är markerade med rött. På samma sätt som för höjder i trianglar betecknar vi medianerna med den lilla bokstaven m och ett nedsänkt index som anger vilket hörn och vilken sida medianen hör till. Eftersom sidan a ligger mittemot hörn A får medianen namnet m_a.

Medianen delar triangeln i två trianglar med samma area. Till skillnad från höjden i en triangel ser medianerna likadana ut i alla typer av trianglar.

Mittpunkt på en sträcka

De tre punkterna M_a, M_b och M_c är mittpunkterna på respektive sida, alltså på de aktuella sträckorna. Mittpunkten kan du konstruera med passare och linjal. Mittpunkten på sidan AB hittar du till exempel genom att rita två lika stora cirklar med medelpunkt i hörnen A och B. Cirklarna måste ha en radie som är större än hälften av längden på sträckan AB — men radien måste vara densamma för båda cirklarna! Antingen uppskattar du den, eller så ritar du cirklar med radien lika med längden på sidan AB. De två cirklarna skär varandra i två punkter. Dra en sträcka mellan de här punkterna, och där sträckan skär sidan AB ligger mittpunkten på sidan AB.

På figuren är triangelns tyngdpunkt markerad med grönt; den är triangelns tänkta mittpunkt.

Tyngdpunkt

Medianerna skär alltid varandra i en och samma punkt. Så märker du om du har ritat rätt. Om de skär varandra någon annanstans har du antingen ritat slarvigt eller helt fel. Tyngdpunkten ligger alltid inuti triangeln, till skillnad från ortocentrum, som också kan ligga utanför triangeln.

Tyngdpunkten är triangelns tänkta mittpunkt: om du ville balansera triangeln på spetsen av en penna skulle du placera pennan precis under tyngdpunkten, så att triangeln inte faller.

Tyngdpunkten delar dessutom medianernas längder i förhållandet 1:2. Det betyder att två tredjedelar av medianens längd ligger på ena sidan om tyngdpunkten och den återstående tredjedelen på andra sidan. Den längre delen av medianen är alltid den som går ”mot hörnet” i triangeln. ”Vid sidan” ligger i stället den kortare delen. Titta på figuren:

Längden på sträckan AT (blå sträcka) är dubbelt så stor som längden på sträckan TM_a (grön sträcka). Dessutom gäller att sträckorna AD, DT och TM_a är lika långa. På samma sätt för de övriga medianerna.

Mittpunktstransversal

En mittpunktstransversal är en sträcka vars ändpunkter är mittpunkterna på två av triangelns sidor. Titta på figuren:

Punkterna M_a, M_b och M_c är mittpunkter på sidorna, precis som för medianerna. För att skapa en mittpunktstransversal har vi helt enkelt förbundit två av dessa punkter med en sträcka. Mittpunktstransversalerna betecknar vi med bokstaven s och ett nedsänkt index som anger det motstående hörnet. Den triangel som bildas kallas mittpunktstriangel. Det intressanta är att tyngdpunkten i den här mittpunktstriangeln är densamma som i den ursprungliga triangeln. I vårt fall är det punkten T.

Beräkning av medianens längd

För att beräkna längden på en median kan vi använda Apollonios sats. Anta att a, b, c är längderna på motsvarande sidor i triangeln och att m_a, m_b och m_c är längderna på medianerna:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$