Üçgenin Yüksekliği

Üçgenin yüksekliği bir doğru parçasıdır. Bu doğru parçasının uç noktalarından biri üçgenin bir köşesidir, diğer uç noktası ise karşısındaki kenar üzerinde bir noktadır; yüksekliğin kendisi de bu kenara dik olmalıdır.

Dar Açılı Üçgen

En iyisi şekle bakmak:

Yüksekliği C köşesinden çizdik. Diğer uç nokta karşıdaki AB kenarı (yani c kenarı) üzerinde yer alır ve CP_c doğru parçası c kenarına diktir. P_c noktasına yüksekliğin ayağı denir; c kenarına da taban diyoruz. Ayağı genellikle P harfi ve bir alt indisle adlandırırız; alt indis, yüksekliğin çıktığı köşeyi gösterir. Burada bu köşe C olduğu için P_c yazarız.

Yüksekliği çizmek oldukça kolaydır: gönyeni al, c kenarına dik olacak biçimde tam C noktasından geçen bir doğru çiz. Hepsi bu kadar.

Yüksekliği üçgenin her köşesinden çizebiliriz. Üç yükseklik de diklik merkezi denen bir noktada kesişir. Diklik merkezi üçgenin içinde olabilir, ama olmak zorunda değildir. Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin içinde yer alır:

Üçgenin üç yüksekliği kırmızıyla gösterilmiştir. Her yüksekliğin kendi kenarına dik olduğuna dikkat et. Yükseklikleri h harfi ve bir alt indisle gösteririz; alt indise yüksekliğin hangi köşeden çıktığını yazarız. Örneğin BP_b yüksekliği için h_b yüksekliğinden söz ederiz. Diklik merkezinin kendisi yeşil noktayla gösterilmiştir ve H harfiyle adlandırılır.

Geniş Açılı Üçgen

Geniş açılı üçgende ufak bir hileye başvurmak gerekir. Diklik merkezi üçgenin dışında oluşur ve bazı yükseklikler aslında kesmeleri gereken kenarları kesemez. Bunu, ilgili kenarları gerektiği kadar “uzatarak” çözeriz. Yine şekle bak: Asıl üçgen kalın çizilmiş ABC üçgenidir. Bu üçgen geniş açılıdır; ACB açısının ölçüsü 90 dereceden büyüktür. C köşesinden inen yüksekliği sorunsuzca çizeriz, ama B köşesinden inen yükseklikte sorun yaşarız. AC kenarına dik olan ve hem AC kenarını hem de B köşesini kesen bir doğru bulamayız. Bunu, AC ışınını çizip AC kenarını gerektiği kadar uzatarak çözeriz. Dikmeyi bu ışın üzerinde ararız ve artık buluruz. Dikmenin ayağı yeni oluşan ışının üzerindedir. Geriye kalan yüksekliği de aynı şekilde çizeriz.

Artık üçgenin üç yüksekliğini de çizdik. Sorun şu ki bu yükseklikler hiçbir zaman kesişmez ve diklik merkezini oluşturmaz. Bunu, yüksekliklerin doğrultusunda üç yeni ışını, üçgenin üstünde bir yerde kesişecek biçimde çizerek sağlarız. Yüksekliklerin kendisini ise hiç değiştirmeyiz.

Dik Üçgen

Dik üçgende iş en kolaydır, çünkü iki yükseklik üçgenin iki kenarıyla, yani dik kenarlarla çakışır. Diklik merkezi de hipotenüsün karşısındaki köşede, yani dik açının köşesinde yer alır.

Yüksekliğin Uzunluğu

Bazen yüksekliğin uzunluğunu hesaplamak gerekir. Dar açılı üçgendeki yükseklik şeklinden yola çıkalım.

Şekilde h_c yüksekliği işaretlenmiş; şimdi bunun uzunluğunu hesaplamaya çalışalım. h_c yüksekliği elbette AB kenarına diktir ve bundan yararlanabiliriz. Yüksekliği daha kolay hesaplayabileceğimiz yeni bir üçgen oluştururuz. Üçgeni B, C ve P_c köşelerinden kurarız. Şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır:

Şimdi trigonometrik fonksiyonlardan yararlanacağız. Bunun için B köşesindeki açıyı, yani β açısını da bilmemiz gerekir. Ondan sonrası, karşı kenarın hipotenüse oranını veren sinüsün basit bir uygulamasıdır. Bu üçgende karşı kenar h_c, hipotenüs ise CB kenarıdır. Dolayısıyla şunu yazarız:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{|h_c|}{|BC|}\\ |h_c|& =& \sin (\beta )\cdot |BC|\end{array}$$

β açısının ölçüsü yaklaşık 53°8′, BC kenarının uzunluğu ise 5’tir. Yerine yazınca şunu elde ederiz:

$$|h_c|=\sin ({53}^{\circ }{8}^{\prime })\cdot 5=0,8\cdot 5=4.$$

h_c yüksekliğinin uzunluğu dörttür.