Mediana de um triângulo

A mediana de um triângulo é um segmento que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. O triângulo tem exatamente três medianas, e o ponto em que elas se cruzam é o baricentro do triângulo.

Exemplo

Observe o triângulo a seguir, com as medianas indicadas: As medianas estão indicadas em vermelho. Assim como nas alturas dos triângulos, aqui também indicamos as medianas pela letra minúscula m junto com um índice inferior, que especifica a qual lado e a qual vértice a mediana pertence. Como em frente ao vértice A temos o lado a, a mediana também terá o nome m_a.

A mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área. Ao contrário da altura do triângulo, as medianas têm o mesmo aspecto em todos os tipos de triângulos.

Ponto médio de um segmento

Os três pontos M_a, M_b e M_c representam os pontos médios dos lados correspondentes, dos segmentos correspondentes. Você pode obter o ponto médio graficamente, com compasso e régua. Por exemplo, você encontra o ponto médio do lado AB assim: desenhe duas circunferências de mesmo tamanho, com centro nos vértices A e B. Essas circunferências devem ter raio maior que a metade do comprimento do segmento AB — mas esse raio deve ser o mesmo nas duas circunferências! Ou você estima, ou desenha uma circunferência de raio igual ao comprimento do lado AB. Essas duas circunferências se cruzam em dois pontos. Ligue esses pontos por um segmento, e onde esse segmento cruzar o lado AB está o ponto médio do lado AB.

Em verde está destacado na figura o baricentro do triângulo, que é o centro imaginário do triângulo.

Baricentro

Todas as medianas sempre se cruzam em um único ponto. É assim que você percebe se desenhou direito. Se elas se cruzam em algum lugar fora, você desenhou ou sem precisão, ou completamente errado. O baricentro fica sempre no interior do triângulo, ao contrário do ortocentro, que também pode ficar fora do triângulo.

O baricentro representa o centro imaginário do triângulo: se você quisesse equilibrar o triângulo na ponta de um lápis, deveria colocar o lápis exatamente sob o baricentro, para que o triângulo não caísse.

O baricentro divide ainda os comprimentos das medianas na razão 1:2. Isso significa que dois terços do comprimento da mediana ficam de um lado do baricentro e o terço restante, do outro lado. A parte maior da mediana fica sempre na direção “do vértice” do triângulo. “Do lado do triângulo” fica, ao contrário, a parte menor. Veja a figura:

O comprimento do segmento AG (segmento azul) é o dobro do comprimento do segmento GM_a (segmento verde). Além disso, vale que os segmentos AD, DG e GM_a têm a mesma medida. O mesmo vale para as outras medianas.

Base média

A base média é um segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados do triângulo. Observe a figura:

Os pontos M_a, M_b e M_c são os pontos médios dos lados, como no caso das medianas. Para criar a base média, apenas ligamos dois desses pontos por um segmento. Indicamos as bases médias pela letra s junto com um índice inferior, em que colocamos o vértice oposto. O triângulo que surge chama-se triângulo medial. Uma curiosidade é que o baricentro desse triângulo medial é o mesmo que o do triângulo original. No nosso caso, é o ponto G.

Cálculo do comprimento da mediana

Para calcular o comprimento da mediana podemos usar o teorema de Apolônio. Suponha agora que a, b, c são os comprimentos dos lados correspondentes do triângulo e, do mesmo modo, m_a, m_b e m_c são os comprimentos das medianas:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$