Mediana di un triangolo

La mediana di un triangolo è il segmento che collega un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto. Un triangolo ha esattamente tre mediane e il loro punto di intersezione è il baricentro del triangolo.

Un esempio

Guarda il triangolo seguente con le mediane disegnate: Le singole mediane sono tracciate in rosso. Come per le altezze dei triangoli, anche qui indichiamo le mediane con la lettera minuscola m e con un pedice che specifica a quale lato e a quale vertice appartiene la mediana. Poiché di fronte al vertice A si trova il lato a, anche la mediana avrà il nome m_a.

Una mediana divide il triangolo in due triangoli con la stessa area. A differenza dell’altezza del triangolo, le mediane hanno lo stesso aspetto in tutti i tipi di triangolo.

Punto medio di un segmento

I tre punti M_a, M_b e M_c sono i punti medi dei lati, cioè dei segmenti dati. Il punto medio si può trovare graficamente con il compasso e la riga. Per esempio, il punto medio del lato AB si trova così: disegna due circonferenze con lo stesso raggio e con centro nei vertici A e B. Il raggio deve essere maggiore della metà della lunghezza del segmento AB, ma deve essere lo stesso per entrambe le circonferenze! Puoi stimarlo a occhio oppure disegnare una circonferenza con raggio uguale alla lunghezza del lato AB. Le due circonferenze si intersecano in due punti. Congiungi questi punti con un segmento: dove questo segmento taglia il lato AB si trova il punto medio del lato AB.

Nella figura è evidenziato in verde il baricentro del triangolo, che è una specie di «centro» del triangolo.

Baricentro

Tutte le mediane si incontrano sempre in un solo punto. Così puoi capire se hai disegnato bene: se si incontrano da qualche altra parte, hai disegnato in modo impreciso oppure proprio male. Il baricentro si trova sempre all’interno del triangolo, a differenza dell’ortocentro, che può trovarsi anche fuori dal triangolo.

Il baricentro rappresenta il «centro» del triangolo: se volessi tenere in equilibrio un triangolo sulla punta di una matita, dovresti mettere la matita proprio sotto il baricentro, in modo che il triangolo non cada.

Inoltre il baricentro divide ogni mediana in due parti in rapporto 1:2. Questo significa che due terzi della lunghezza della mediana stanno da una parte del baricentro e il terzo restante dall’altra. La parte più lunga della mediana è sempre quella «verso il vertice» del triangolo, mentre quella «verso il lato» è la più corta. Guarda la figura:

La lunghezza del segmento AG (segmento blu) è il doppio della lunghezza del segmento GM_a (segmento verde). Inoltre i segmenti AD, DG e GM_a hanno la stessa lunghezza. Lo stesso vale per le altre mediane.

Segmento che congiunge i punti medi

È il segmento che ha come estremi i punti medi di due lati del triangolo. Osserva la figura:

I punti M_a, M_b e M_c sono i punti medi dei lati, come nel caso delle mediane. Per ottenere questi segmenti abbiamo semplicemente congiunto due a due questi punti. Indichiamo ciascun segmento con la lettera s e, come pedice, il vertice opposto. Il triangolo che si ottiene si chiama triangolo mediale. Una curiosità: il baricentro del triangolo mediale coincide con il baricentro del triangolo di partenza. Nel nostro caso è il punto G.

Calcolo della lunghezza della mediana

Per calcolare la lunghezza di una mediana possiamo usare il teorema della mediana (detto anche teorema di Apollonio). Supponiamo che a, b, c siano le lunghezze dei rispettivi lati del triangolo e, analogamente, che m_a, m_b e m_c siano le lunghezze delle mediane:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$