Median i en trekant

En median i en trekant er et linjestykke, der forbinder et hjørne i trekanten med midtpunktet på den modstående side. En trekant har præcis tre medianer, og deres skæringspunkt danner trekantens tyngdepunkt.

Eksempel

Se på den følgende trekant med markerede medianer: Medianerne er markeret med rødt. På samme måde som ved højder i trekanter betegner vi også medianerne med et lille bogstav m sammen med et nedsænket indeks, der angiver, hvilken side og hvilket hjørne medianen hører til. Fordi vi over for hjørnet A har siden a, får medianen navnet m_a.

En median deler trekanten i to trekanter med samme areal. I modsætning til højden i en trekant ser medianerne ens ud i alle typer trekanter.

Midtpunkt af et linjestykke

De tre punkter M_a, M_b og M_c er midtpunkterne på de pågældende sider, de pågældende linjestykker. Midtpunktet kan du finde grafisk med passer og lineal. Midtpunktet på siden AB finder du for eksempel ved at tegne to lige store cirkler med centrum i hjørnerne A og B. Disse cirkler skal have en radius, der er større end halvdelen af længden af linjestykket AB — men denne radius skal være den samme for begge cirkler! Enten skal du gætte på den, eller du tegner en cirkel med radius lig med længden af siden AB. De to cirkler skærer hinanden i to punkter. Forbind disse punkter med et linjestykke, og hvor dette linjestykke skærer siden AB, dér ligger midtpunktet på siden AB.

Med grønt er trekantens tyngdepunkt fremhævet på figuren, det er trekantens tænkte midtpunkt.

Tyngdepunkt

Alle medianer skærer altid hinanden i ét punkt. Sådan kan du se, om du har konstrueret rigtigt. Hvis de skærer hinanden et andet sted, har du enten konstrueret upræcist eller helt forkert. Tyngdepunktet ligger altid inden i trekanten, i modsætning til ortocenteret, som også kan ligge uden for trekanten.

Tyngdepunktet er trekantens tænkte midtpunkt: hvis du ville holde en trekant på spidsen af en blyant, skulle du placere blyanten netop under tyngdepunktet, for at trekanten ikke falder ned.

Tyngdepunktet deler yderligere medianernes længder i forholdet 1:2. Det betyder, at to tredjedele af medianens længde ligger på den ene side af tyngdepunktet og den resterende ene tredjedel på den anden side. Den længere del af medianen er altid i retning »mod hjørnet« i trekanten. »Ved siden« er til gengæld den kortere del. Se på figuren:

Længden af linjestykket AT (blåt linjestykke) er dobbelt så stor som længden af linjestykket TM_a (grønt linjestykke). Samtidig gælder, at linjestykkerne AD, DT og TM_a er lige store. Tilsvarende for de øvrige medianer.

Midtlinje

En midtlinje er et linjestykke, der har midtpunkterne på trekantens sider som endepunkter. Se på figuren:

Punkterne M_a, M_b og M_c er midtpunkterne på siderne, det er det samme som ved medianerne. For at danne midtlinjen har vi blot hver gang forbundet to af disse punkter med et linjestykke. Midtlinjerne betegner vi med bogstavet l sammen med et nedsænket indeks, hvor vi sætter det modstående hjørne. Den trekant, der opstår, kaldes midttrekanten. Det er interessant, at tyngdepunktet i denne midttrekant er det samme som i den oprindelige trekant. I vores tilfælde er det punktet T.

Beregning af medianens længde

Til at beregne medianens længde kan vi bruge Apollonios' sætning. Lad os nu antage, at a, b, c er længderne af de pågældende sider i trekanten, og tilsvarende er m_a, m_b og m_c længderne af medianerne:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$