Zwaartelijn van een driehoek

De zwaartelijn van een driehoek is een lijnstuk dat een hoekpunt van de driehoek verbindt met het midden van de overstaande zijde. Een driehoek heeft precies drie zwaartelijnen en hun snijpunt is het zwaartepunt van de driehoek.

Voorbeeld

Kijk naar de volgende driehoek met aangegeven zwaartelijnen: Rood zijn de afzonderlijke zwaartelijnen aangegeven. Net als bij de hoogtelijnen van driehoeken noteren we ook hier de zwaartelijnen met een kleine letter z samen met een index die aangeeft bij welke zijde en welk hoekpunt de zwaartelijn hoort. Omdat tegenover hoekpunt A zijde a ligt, heet ook de zwaartelijn z_a.

Een zwaartelijn verdeelt de driehoek in twee driehoeken met dezelfde oppervlakte. In tegenstelling tot de hoogtelijn van een driehoek zien zwaartelijnen er bij alle soorten driehoeken hetzelfde uit.

Midden van een lijnstuk

De drie punten M_a, M_b en M_c zijn de middens van de betreffende zijden, de betreffende lijnstukken. Het midden kun je grafisch bepalen met een passer en een liniaal. Het midden van zijde AB vind je bijvoorbeeld door twee even grote cirkels te tekenen met middelpunten in de hoekpunten A en B. Deze cirkels moeten een straal hebben die groter is dan de helft van de lengte van lijnstuk AB — maar die straal moet bij beide cirkels gelijk zijn! Schat het of teken een cirkel met als straal de lengte van zijde AB. Deze twee cirkels snijden elkaar in twee punten. Verbind deze punten met een lijnstuk en waar dit lijnstuk zijde AB snijdt, daar ligt het midden van zijde AB.

Groen is in de afbeelding het zwaartepunt van de driehoek gemarkeerd, het denkbeeldige middelpunt van de driehoek.

Zwaartepunt

Alle zwaartelijnen snijden elkaar altijd in één punt. Zo merk je of je goed hebt getekend. Als ze elkaar ergens buiten snijden, heb je ofwel onnauwkeurig getekend, ofwel helemaal verkeerd. Het zwaartepunt ligt altijd binnen de driehoek, in tegenstelling tot het hoogtepunt, dat ook buiten de driehoek kan liggen.

Het zwaartepunt is het denkbeeldige middelpunt van de driehoek: als je een driehoek op de punt van een potlood in balans zou willen houden, moet je het potlood precies onder het zwaartepunt zetten, zodat de driehoek niet valt.

Het zwaartepunt verdeelt verder de lengtes van de zwaartelijnen in de verhouding 1:2. Dat betekent dat twee derde van de lengte van de zwaartelijn aan de ene kant van het zwaartepunt ligt en het resterende derde aan de andere kant. Het langere deel van de zwaartelijn ligt altijd in de richting van het hoekpunt van de driehoek. Het kortere deel is juist het deel “bij de zijde”. Kijk naar de afbeelding:

De lengte van lijnstuk AZ (blauw lijnstuk) is twee keer zo groot als de lengte van lijnstuk ZM_a (groen lijnstuk). Daarbij geldt dat de lijnstukken AD, DZ en ZM_a even lang zijn. Voor de andere zwaartelijnen geldt hetzelfde.

Middenparallel

Een middenparallel is een lijnstuk dat als eindpunten de middens van twee zijden van de driehoek heeft. Bekijk de afbeelding:

De punten M_a, M_b en M_c zijn de middens van de zijden, dat is hetzelfde gebleven als bij de zwaartelijnen. Om een middenparallel te maken hebben we steeds twee van deze punten met een lijnstuk verbonden. Middenparallellen noteren we met de letter s samen met een index met het overstaande hoekpunt. De driehoek die zo ontstaat, heet de middendriehoek. Een bijzonderheid is dat het zwaartepunt van deze middendriehoek hetzelfde is als dat van de oorspronkelijke driehoek. In ons geval is dat punt Z.

De lengte van een zwaartelijn berekenen

Om de lengte van een zwaartelijn te berekenen kunnen we de stelling van Apollonius gebruiken. Stel nu dat a, b, c de lengtes van de betreffende zijden van de driehoek zijn en dat evenzo z_a, z_b en z_c de lengtes van de zwaartelijnen zijn:

$$\begin{array}{rcl}{z}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ z_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ z_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$