Median i en trekant

Medianen i en trekant er et linjestykke som forbinder et hjørne i trekanten med midtpunktet på den motstående siden. En trekant har nøyaktig tre medianer, og skjæringspunktet mellom dem er tyngdepunktet i trekanten.

Eksempel

Se på følgende trekant med medianene markert: De enkelte medianene er markert med rødt. På samme måte som for høydene i trekanter betegner vi også medianene med den lille bokstaven m sammen med en nedsenket indeks som angir hvilken side og hvilket hjørne medianen hører til. Siden vi har siden a overfor hjørnet A, får også medianen navnet m_a.

Medianen deler trekanten i to trekanter med samme areal. I motsetning til høyden i en trekant ser medianene like ut i alle typer trekanter.

Midtpunktet på et linjestykke

De tre punktene M_a, M_b og M_c er midtpunktene på de aktuelle sidene, de aktuelle linjestykkene. Midtpunktet kan du finne grafisk med passer og linjal. Midtpunktet på siden AB finner du for eksempel ved å tegne to like store sirkler med sentrum i hjørnene A og B. Disse sirklene må ha en radius som er større enn halvparten av lengden av linjestykket AB – men denne radien må være den samme for begge sirklene! Enten anslår du den, eller du tegner en sirkel med radius lik lengden av siden AB. Disse to sirklene skjærer hverandre i to punkter. Trekk et linjestykke mellom disse punktene, og der dette linjestykket skjærer siden AB, ligger midtpunktet på siden AB.

Med grønt er tyngdepunktet i trekanten framhevet på figuren, og det er et tenkt sentrum i trekanten.

Tyngdepunktet

Alle medianene skjærer alltid hverandre i ett punkt. Slik kan du se om du har tegnet riktig. Hvis de skjærer hverandre et sted utenfor, har du tegnet enten unøyaktig eller helt feil. Tyngdepunktet ligger alltid inni trekanten, i motsetning til ortosenteret, som også kan ligge utenfor trekanten.

Tyngdepunktet er et tenkt sentrum i trekanten: Hvis du ville balansere trekanten på tuppen av en blyant, måtte du plassere blyanten nettopp under tyngdepunktet for at trekanten ikke skulle falle.

Tyngdepunktet deler dessuten lengdene av medianene i forholdet 1:2. Det betyr at to tredjedeler av lengden av medianen ligger på den ene siden av tyngdepunktet, og den gjenværende tredjedelen på den andre siden. Den lengste delen av medianen er alltid i retning «mot hjørnet» i trekanten. «Ved siden» er derimot den korteste delen. Se på figuren:

Lengden av linjestykket AT (blått linjestykke) er dobbelt så stor som lengden av linjestykket TM_a (grønt linjestykke). Samtidig gjelder det at linjestykkene AD, DT og TM_a har samme størrelse. Tilsvarende for de andre medianene.

Midtparallell

En midtparallell er et linjestykke som har midtpunktene på to av sidene i trekanten som endepunkter. Se på figuren:

Punktene M_a, M_b og M_c er midtpunktene på sidene, det er det samme som for medianene. For å lage en midtparallell har vi bare forbundet to av disse punktene med et linjestykke. Midtparallellene betegner vi med bokstaven p sammen med en nedsenket indeks, der vi setter inn det motstående hjørnet. Trekanten som oppstår, kalles midttrekanten. Det er interessant at tyngdepunktet i denne midttrekanten er det samme som i den opprinnelige trekanten. I vårt tilfelle er det punktet T.

Utregning av lengden av en median

For å regne ut lengden av en median kan vi bruke Apollonios' setning. La oss nå anta at a, b, c er lengdene av de tilsvarende sidene i trekanten, og tilsvarende at m_a, m_b og m_c er lengdene av medianene:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$