A háromszög súlyvonala

A háromszög súlyvonala olyan szakasz, amely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. A háromszögnek pontosan három súlyvonala van, és ezek metszéspontja a háromszög súlypontja.

Példa

Nézd meg a következő háromszöget a bejelölt súlyvonalakkal: Pirossal jelöltük az egyes súlyvonalakat. A háromszög magasságaihoz hasonlóan itt is kis s betűvel jelöljük a súlyvonalakat, alsó indexben azzal az oldallal és csúccsal, amelyhez tartoznak. Mivel az A csúccsal szemben van az a oldal, a súlyvonal neve is s_a lesz.

A súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű háromszögre osztja. A háromszög magasságától eltérően a súlyvonalak minden háromszögtípusban ugyanúgy néznek ki.

A szakasz felezőpontja

Az F_a, F_b és F_c pont az egyes oldalak, azaz szakaszok felezőpontja. A felezőpontot szerkesztéssel is megkaphatod körzővel és vonalzóval. Például az AB oldal felezőpontját úgy találod meg, hogy az A és a B csúcs körül két egyforma sugarú kört rajzolsz. E körök sugarának nagyobbnak kell lennie az AB szakasz hosszának felénél – de mindkét körnél ugyanakkorának kell lennie! Vagy becsüld meg, vagy rajzolj AB sugarú kört. A két kör két pontban metszi egymást. Ezeket a pontokat kösd össze egy szakasszal, és ahol ez a szakasz metszi az AB oldalt, ott van az AB oldal felezőpontja.

Zölddel az ábrán a háromszög súlypontját jelöltük, ami a háromszög képzeletbeli középpontja.

Súlypont

Az összes súlyvonal mindig egy pontban metszi egymást. Ebből látod, hogy jól szerkesztettél-e. Ha valahol máshol metszik egymást, akkor vagy pontatlanul, vagy teljesen rosszul szerkesztettél. A súlypont mindig a háromszög belsejében van, szemben a magasságponttal, amely a háromszögön kívül is lehet.

A súlypont a háromszög képzeletbeli középpontja: ha a háromszöget egy ceruza hegyén szeretnéd megtartani, a ceruzát éppen a súlypont alá kell tenned, hogy a háromszög ne essen le.

A súlypont a súlyvonalakat 1:2 arányban osztja. Ez azt jelenti, hogy a súlyvonal hosszának kétharmada van a súlyponttól az egyik oldalon, a fennmaradó egyharmada pedig a másikon. A súlyvonal hosszabbik része mindig a háromszög „csúcsa felé” esik, a rövidebb rész pedig „az oldal felé”. Nézd meg az ábrát:

Az AS szakasz (kék) kétszer olyan hosszú, mint az SF_a szakasz (zöld). Az AD, DS és SF_a szakaszok egyenlő hosszúak. A többi súlyvonalnál ugyanígy.

Középvonal

A középvonal olyan szakasz, amelynek végpontjai a háromszög két oldalának felezőpontjai. Nézd meg az ábrát:

Az F_a, F_b és F_c pont az oldalak felezőpontja, ahogy a súlyvonalaknál is. A középvonal megrajzolásához mindig két ilyen pontot kötöttünk össze egy szakasszal. A középvonalakat k betűvel jelöljük, alsó indexben a szemközti csúccsal. A keletkező háromszöget középháromszögnek nevezzük. Érdekesség, hogy ennek a középháromszögnek a súlypontja ugyanaz, mint az eredeti háromszögé. A mi esetünkben ez az S pont.

A súlyvonal hosszának kiszámítása

A súlyvonal hosszát az Apollóniosz-tétellel számíthatjuk ki. Tegyük fel, hogy a, b, c a háromszög megfelelő oldalainak hossza, hasonlóan s_a, s_b és s_c a súlyvonalak hossza:

$$\begin{array}{rcl}{s}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ s_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ s_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$