Mediana de un triángulo

La mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene exactamente tres medianas y su punto de corte es el baricentro del triángulo.

Ejemplo

Fíjate en el siguiente triángulo con las medianas marcadas: En rojo están marcadas las distintas medianas. Igual que con las alturas de un triángulo, también aquí designamos las medianas con la letra minúscula m y un subíndice que indica a qué lado y a qué vértice corresponde la mediana. Como frente al vértice A está el lado a, la mediana se llamará m_a.

La mediana divide el triángulo en dos triángulos con la misma área. A diferencia de la altura de un triángulo, las medianas tienen el mismo aspecto en todos los tipos de triángulos.

Punto medio de un segmento

Los tres puntos M_a, M_b y M_c son los puntos medios de los lados dados, es decir, de los segmentos dados. El punto medio se puede hallar gráficamente con el compás y la regla. Por ejemplo, el punto medio del lado AB se obtiene trazando dos circunferencias del mismo radio con centro en los vértices A y B. Estas circunferencias deben tener un radio mayor que la mitad de la longitud del segmento AB, ¡pero ese radio tiene que ser el mismo en las dos! Puedes estimarlo a ojo o trazar una circunferencia cuyo radio sea la longitud del lado AB. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos. Une esos puntos con un segmento y el lugar donde ese segmento corta al lado AB es el punto medio del lado AB.

En verde está resaltado en la figura el baricentro del triángulo, que es el centro imaginario del triángulo.

Baricentro

Todas las medianas se cortan siempre en un único punto. Así sabes si has trazado bien. Si se cortan en distintos puntos, has trazado con poca precisión o directamente mal. El baricentro está siempre dentro del triángulo, a diferencia del ortocentro, que puede estar también fuera del triángulo.

El baricentro es el centro imaginario del triángulo: si quisieras sostener un triángulo sobre la punta de un lápiz, tendrías que colocar el lápiz justo bajo el baricentro para que el triángulo no se cayera.

Además, el baricentro divide la longitud de las medianas en la razón 1:2. Esto significa que dos tercios de la longitud de la mediana quedan a un lado del baricentro y el tercio restante al otro lado. La parte más larga de la mediana es siempre la que va «hacia el vértice» del triángulo. La parte «hacia el lado» es, en cambio, la más corta. Observa la figura:

La longitud del segmento AG (segmento azul) es el doble de la longitud del segmento GM_a (segmento verde). Además, los segmentos AD, DG y GM_a tienen la misma longitud. Lo mismo ocurre con las demás medianas.

Paralela media

La paralela media es un segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados del triángulo. Observa la figura:

Los puntos M_a, M_b y M_c son los puntos medios de los lados, igual que en el caso de las medianas. Para obtener la paralela media hemos unido con un segmento dos de estos puntos. Las paralelas medias las designamos con la letra s y un subíndice con el vértice opuesto. Al triángulo que se forma se le llama triángulo medial. Una curiosidad es que el baricentro de este triángulo medial coincide con el del triángulo original. En nuestro caso es el punto G.

Cálculo de la longitud de la mediana

Para calcular la longitud de la mediana podemos usar el teorema de Apolonio. Supongamos que a, b, c son las longitudes de los lados correspondientes del triángulo y que, del mismo modo, m_a, m_b y m_c son las longitudes de las medianas:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$