Kolmion keskijana

Kolmion keskijana on jana, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Kolmiossa on täsmälleen kolme keskijanaa, ja niiden leikkauspiste on kolmion painopiste.

Esimerkki

Katso seuraavaa kolmiota, johon on merkitty keskijanat: Punaisella on merkitty yksittäiset keskijanat. Samoin kuin kolmion korkeusjanoja myös keskijanoja merkitsemme pienellä kirjaimella m ja alaindeksillä, joka kertoo, mihin sivuun ja mihin kärkeen keskijana kuuluu. Koska kärjen A vastainen sivu on a, myös keskijanan nimi on m_a.

Keskijana jakaa kolmion kahteen kolmioon, joiden pinta-ala on sama. Toisin kuin kolmion korkeusjanat, keskijanat näyttävät samalta kaikissa kolmiotyypeissä.

Janan keskipiste

Kolme pistettä M_a, M_b ja M_c ovat annettujen sivujen eli janojen keskipisteet. Keskipisteen voi piirtää harpilla ja viivoittimella. Esimerkiksi sivun AB keskipiste löytyy piirtämällä kaksi yhtä suurta ympyrää, joiden keskipisteet ovat kärjissä A ja B. Näiden ympyröiden säteen on oltava suurempi kuin puolet janan AB pituudesta — mutta säteen on oltava molemmilla ympyröillä sama! Joko arvaat sen tai piirrät ympyrän, jonka säde on sivun AB pituus. Nämä kaksi ympyrää leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä. Yhdistä nämä pisteet janalla, ja siinä, missä tämä jana leikkaa sivun AB, on sivun AB keskipiste.

Vihreällä on kuvassa korostettu kolmion painopiste, joka on kolmion kuviteltu keskipiste.

Painopiste

Kaikki keskijanat leikkaavat aina toisensa yhdessä pisteessä. Siitä tunnistat, oletko piirtänyt oikein. Jos ne leikkaavat jossakin muualla, olet piirtänyt joko epätarkasti tai aivan pieleen. Painopiste on aina kolmion sisäpuolella toisin kuin ortokeskus, joka voi olla myös kolmion ulkopuolella.

Painopiste on kolmion kuviteltu keskipiste: jos haluaisit pitää kolmiota kynän kärjen päällä, kynä pitäisi asettaa juuri painopisteen alle, jotta kolmio ei putoa.

Painopiste jakaa lisäksi keskijanojen pituudet suhteessa 1:2. Se tarkoittaa, että kaksi kolmasosaa keskijanan pituudesta on painopisteen toisella puolella ja jäljellä oleva yksi kolmasosa toisella puolella. Keskijanan pidempi osa on aina ”kärkeen” päin. ”Sivun puolella” on vastaavasti lyhyempi osa. Katso kuvaa:

Janan AG (sininen jana) pituus on kaksi kertaa janan GM_a (vihreä jana) pituus. Samalla pätee, että janat AD, DG ja GM_a ovat yhtä pitkät. Samoin muilla keskijanoilla.

Keskiviiva

Keskiviiva on jana, jonka päätepisteet ovat kolmion kunkin sivun keskipisteet. Katso kuvaa:

Pisteet M_a, M_b ja M_c ovat sivujen keskipisteet, ne pysyivät samoina kuin keskijanojen tapauksessa. Keskiviivan saamiseksi yhdistimme aina kaksi näistä pisteistä janalla. Keskiviivoja merkitsemme kirjaimella s ja alaindeksillä, johon laitamme vastakkaisen kärjen. Syntyvää kolmiota kutsutaan keskipistekolmioksi. Mielenkiintoista on, että tämän keskipistekolmion painopiste on sama kuin alkuperäisen kolmion. Meidän tapauksessamme se on piste G.

Keskijanan pituuden laskeminen

Keskijanan pituuden laskemiseen voimme käyttää Apolloniuksen lausetta. Oletetaan nyt, että a, b, c ovat kolmion vastaavien sivujen pituudet ja samoin m_a, m_b ja m_c ovat keskijanojen pituudet:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$