Mediana triunghiului

Mediana triunghiului este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Triunghiul are exact trei mediane, iar punctul lor de intersecție este centrul de greutate G al triunghiului.

Exemplu

Privește următorul triunghi cu medianele marcate: Cu roșu sunt marcate medianele. Ca în cazul înălțimilor triunghiului, și aici notăm medianele cu litera mică m și cu un indice jos, care arată cărei laturi și cărui vârf îi corespunde mediana. Pentru că în fața vârfului A avem latura a, mediana se va numi m_a.

Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu aceeași arie. Spre deosebire de înălțimea triunghiului, medianele arată la fel în toate tipurile de triunghiuri.

Mijlocul unui segment

Cele trei puncte M_a, M_b și M_c sunt mijloacele laturilor respective, adică ale segmentelor respective. Mijlocul îl poți afla grafic cu compasul și rigla. De exemplu, mijlocul laturii AB îl găsești construind două cercuri egale cu centrele în vârfurile A și B. Aceste cercuri trebuie să aibă raza mai mare decât jumătate din lungimea segmentului AB – dar raza trebuie să fie aceeași la ambele cercuri! O poți estima din ochi sau poți trasa un cerc cu raza egală cu lungimea laturii AB. Cele două cercuri se intersectează în două puncte. Unește aceste puncte printr-un segment, iar acolo unde acest segment intersectează latura AB se află mijlocul laturii AB.

Cu verde este evidențiat în figură centrul de greutate al triunghiului, care este un fel de centru al triunghiului.

Centrul de greutate

Toate medianele se intersectează întotdeauna într-un singur punct. Așa îți dai seama dacă ai construit corect. Dacă se intersectează undeva în afară, ai construit fie imprecis, fie complet greșit. Centrul de greutate se află întotdeauna în interiorul triunghiului, spre deosebire de ortocentru, care se poate afla și în afara triunghiului.

Centrul de greutate este un fel de centru al triunghiului: dacă ai vrea să ții triunghiul în echilibru pe vârful unui creion, ar trebui să pui creionul exact sub centrul de greutate, ca triunghiul să nu cadă.

Centrul de greutate împarte lungimile medianelor în raportul 1:2. Asta înseamnă că două treimi din lungimea medianei se află de o parte a centrului de greutate, iar cealaltă treime de cealaltă parte. Partea mai lungă a medianei este întotdeauna spre „vârful” triunghiului. „Spre latură” este, dimpotrivă, partea mai scurtă. Privește figura:

Lungimea segmentului AG (segmentul albastru) este de două ori mai mare decât lungimea segmentului GM_a (segmentul verde). Totodată, segmentele AD, DG și GM_a au aceeași lungime. La fel și pentru celelalte mediane.

Linia mijlocie

Linia mijlocie este segmentul care are drept capete mijloacele a două laturi ale triunghiului. Privește figura:

Punctele M_a, M_b și M_c sunt mijloacele laturilor, la fel ca în cazul medianelor. Pentru a obține linia mijlocie, am unit de fiecare dată două dintre aceste puncte printr-un segment. Liniile mijlocii se notează cu litera l și cu un indice jos, în care punem vârful opus. Triunghiul care se formează se numește triunghi median. Un fapt interesant este că centrul de greutate al acestui triunghi median coincide cu cel al triunghiului inițial. În cazul nostru este punctul G.

Calculul lungimii medianei

Pentru a calcula lungimea medianei putem folosi teorema lui Apollonius (teorema medianei). Presupunem că a, b, c sunt lungimile laturilor corespunzătoare ale triunghiului, iar m_a, m_b și m_c sunt lungimile medianelor:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$