Διάμεσος τριγώνου

Η διάμεσος του τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Το τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διαμέσους και το σημείο τομής τους αποτελεί το βαρύκεντρο του τριγώνου.

Παράδειγμα

Κοίταξε το επόμενο τρίγωνο με σημειωμένες τις διαμέσους: Με κόκκινο φαίνονται οι επιμέρους διάμεσοι. Όπως και στα ύψη των τριγώνων, έτσι και εδώ συμβολίζουμε τις διαμέσους με το μικρό γράμμα μ μαζί με έναν κάτω δείκτη, που προσδιορίζει σε ποια πλευρά και ποια κορυφή αντιστοιχεί η διάμεσος. Επειδή απέναντι από την κορυφή A έχουμε την πλευρά a, και η διάμεσος θα ονομάζεται μ_a.

Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν. Σε αντίθεση με το ύψος του τριγώνου, οι διάμεσοι φαίνονται ίδιες σε όλα τα είδη τριγώνων.

Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Τα τρία σημεία M_a, M_b και M_c είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών, των αντίστοιχων τμημάτων. Το μέσο μπορείς να το βρεις γραφικά με διαβήτη και κανόνα. Για παράδειγμα, το μέσο της πλευράς AB το βρίσκεις αν χαράξεις δύο ίσους κύκλους με κέντρα στις κορυφές A και B. Οι κύκλοι αυτοί πρέπει να έχουν ακτίνα μεγαλύτερη από το μισό του μήκους του τμήματος AB – αλλά η ακτίνα αυτή πρέπει να είναι ίδια και στους δύο κύκλους! Είτε την εκτιμάς με το μάτι, είτε χαράσσεις κύκλο με ακτίνα ίση με το μήκος της πλευράς AB. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία. Ένωσε τα σημεία αυτά με ένα τμήμα και εκεί που το τμήμα αυτό τέμνει την πλευρά AB βρίσκεται το μέσο της πλευράς AB.

Με πράσινο είναι τονισμένο στο σχήμα το βαρύκεντρο του τριγώνου, που είναι το νοητό κέντρο του τριγώνου.

Βαρύκεντρο

Όλες οι διάμεσοι τέμνονται πάντα σε ένα σημείο. Έτσι καταλαβαίνεις αν έκανες σωστά το σχέδιο. Αν τέμνονται κάπου αλλού, σχεδίασες είτε ανακριβώς είτε εντελώς λάθος. Το βαρύκεντρο βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο, σε αντίθεση με το ορθόκεντρο, που μπορεί να βρίσκεται και έξω από το τρίγωνο.

Το βαρύκεντρο αποτελεί το νοητό κέντρο του τριγώνου: αν ήθελες να κρατήσεις το τρίγωνο στη μύτη ενός μολυβιού, θα έπρεπε να τοποθετήσεις το μολύβι ακριβώς κάτω από το βαρύκεντρο, για να μην πέσει το τρίγωνο.

Το βαρύκεντρο χωρίζει επίσης τα μήκη των διαμέσων σε λόγο 1:2. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο τρίτα του μήκους της διαμέσου βρίσκονται από τη μία πλευρά του βαρύκεντρου και το υπόλοιπο ένα τρίτο από την άλλη. Το μεγαλύτερο κομμάτι της διαμέσου είναι πάντα προς την κορυφή του τριγώνου. Προς την πλευρά βρίσκεται αντίθετα το μικρότερο κομμάτι. Κοίταξε το σχήμα:

Το μήκος του τμήματος AG (μπλε τμήμα) είναι διπλάσιο από το μήκος του τμήματος GM_a (πράσινο τμήμα). Ταυτόχρονα ισχύει ότι τα τμήματα AD, DG και GM_a είναι ίσα. Παρόμοια ισχύει και για τις άλλες διαμέσους.

Τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών

Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου. Κοίταξε το σχήμα:

Τα σημεία M_a, M_b και M_c είναι τα μέσα των πλευρών, αυτό έμεινε ίδιο όπως στις διαμέσους. Για να σχηματίσουμε τέτοιο τμήμα, απλώς ενώσαμε δύο από αυτά τα σημεία με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Αυτά τα τμήματα τα συμβολίζουμε με το γράμμα s και ως κάτω δείκτη βάζουμε την απέναντι κορυφή. Το τρίγωνο που προκύπτει λέγεται τρίγωνο των μέσων. Ενδιαφέρον είναι ότι το βαρύκεντρο αυτού του τριγώνου των μέσων είναι το ίδιο με το βαρύκεντρο του αρχικού τριγώνου. Στην περίπτωσή μας είναι το σημείο G.

Υπολογισμός του μήκους της διαμέσου

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των διαμέσων (Απολλωνίου). Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα a, b, c είναι τα μήκη των αντίστοιχων πλευρών του τριγώνου και παρόμοια τα μ_a, μ_b και μ_c είναι τα μήκη των διαμέσων:

$$\begin{array}{rcl}{\mu }_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ {\mu }_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ {\mu }_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$