Seitenhalbierende im Dreieck

Die Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, die eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Ein Dreieck hat genau drei Seitenhalbierende, und ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

Beispiel

Sieh dir das folgende Dreieck mit eingezeichneten Seitenhalbierenden an: Rot sind die einzelnen Seitenhalbierenden eingezeichnet. Ähnlich wie bei den Höhen von Dreiecken bezeichnen wir auch hier die Seitenhalbierenden mit dem Kleinbuchstaben s und einem Index, der angibt, zu welcher Seite und welcher Ecke die Seitenhalbierende gehört. Da der Ecke A die Seite a gegenüberliegt, heißt auch die Seitenhalbierende s_a.

Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt. Im Unterschied zur Höhe eines Dreiecks sehen die Seitenhalbierenden bei allen Dreiecksarten gleich aus.

Mittelpunkt einer Strecke

Die drei Punkte M_a, M_b und M_c sind die Mittelpunkte der jeweiligen Seiten, also der jeweiligen Strecken. Den Mittelpunkt kannst du mit Zirkel und Lineal konstruieren. Den Mittelpunkt der Seite AB findest du zum Beispiel, indem du um die Ecken A und B zwei gleich große Kreise zeichnest. Diese Kreise müssen einen Radius haben, der größer ist als die halbe Länge der Strecke AB – aber der Radius muss bei beiden Kreisen gleich sein! Schätze ihn entweder ab, oder zeichne einen Kreis, dessen Radius gleich der Länge der Seite AB ist. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Verbinde diese Punkte mit einer Strecke, und dort, wo diese Strecke die Seite AB schneidet, liegt der Mittelpunkt der Seite AB.

Grün ist in der Abbildung der Schwerpunkt des Dreiecks hervorgehoben, also der gedachte Mittelpunkt des Dreiecks.

Schwerpunkt

Alle Seitenhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt. So erkennst du, ob du richtig gezeichnet hast. Wenn sie sich irgendwo außerhalb schneiden, hast du entweder ungenau oder völlig falsch gezeichnet. Der Schwerpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks, im Unterschied zum Höhenschnittpunkt, der auch außerhalb des Dreiecks liegen kann.

Der Schwerpunkt ist der gedachte Mittelpunkt des Dreiecks: Wenn du das Dreieck auf einer Bleistiftspitze balancieren wolltest, müsstest du den Bleistift genau unter den Schwerpunkt halten, damit das Dreieck nicht herunterfällt.

Der Schwerpunkt teilt außerdem die Längen der Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2. Das bedeutet, dass zwei Drittel der Länge der Seitenhalbierenden auf der einen Seite des Schwerpunkts liegen und das restliche Drittel auf der anderen Seite. Der längere Teil der Seitenhalbierenden liegt immer in Richtung „zur Ecke“ des Dreiecks. „Zur Seite hin“ liegt dagegen der kürzere Teil. Sieh dir die Abbildung an:

Die Länge der Strecke AS (blaue Strecke) ist doppelt so groß wie die Länge der Strecke SM_a (grüne Strecke). Dabei gilt, dass die Strecken AD, DS und SM_a gleich lang sind. Ebenso bei den übrigen Seitenhalbierenden.

Mittelparallele

Die Mittelparallele ist eine Strecke, deren Endpunkte die Mittelpunkte der einzelnen Seiten des Dreiecks sind. Sieh dir die Abbildung an:

Die Punkte M_a, M_b und M_c sind die Seitenmittelpunkte, das ist dasselbe wie bei den Seitenhalbierenden. Um die Mittelparallelen zu erhalten, haben wir einfach immer zwei dieser Punkte durch eine Strecke verbunden. Die Mittelparallelen bezeichnen wir mit dem Buchstaben p und einem Index, in den wir die gegenüberliegende Ecke schreiben. Das entstehende Dreieck heißt Mittendreieck. Interessant ist, dass der Schwerpunkt dieses Mittendreiecks derselbe ist wie der des ursprünglichen Dreiecks. In unserem Fall ist das der Punkt S.

Berechnung der Länge einer Seitenhalbierenden

Zur Berechnung der Länge einer Seitenhalbierenden können wir den Satz des Apollonios verwenden. Nehmen wir an, dass a, b, c die Längen der jeweiligen Seiten des Dreiecks sind und ebenso s_a, s_b und s_c die Längen der Seitenhalbierenden:

$$\begin{array}{rcl}{s}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ s_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ s_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$