Hợp, giao, hiệu và phần bù của tập hợp

Trên các tập hợp có thể thực hiện nhiều phép toán khác nhau. Cơ bản nhất là phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu và phép lấy phần bù.

Hợp của hai tập hợp

Phép hợp được kí hiệu là ∪, nên hợp của hai tập hợp A và B được viết là A ∪ B. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mới gồm tất cả các phần tử của tập hợp A và tất cả các phần tử của tập hợp B. Định nghĩa:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Ví dụ: Cho hai tập hợp A = {1; 3; 5; 7} và B = {2; 4; 6}. Hợp của chúng là tập hợp: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Tập hợp thu được gồm các phần tử của cả hai tập hợp.

Ví dụ khác: A = {1; 2; 3} và B = {2; 3; 4}. Hợp của chúng là: A ∪ B = {1; 2; 3; 4}. Các phần tử 2 và 3 không xuất hiện hai lần trong tập hợp thu được, vì một tập hợp không chứa một phần tử nhiều lần.

Các tính chất khác:

• A ∪ A = A: hợp của hai tập hợp giống nhau lại là chính tập hợp đó.
• A ∪ B = B ∪ A: phép hợp có tính chất giao hoán, thứ tự không quan trọng.
• A ∪ ∅ = A: tập rỗng không có phần tử nào, nên không có gì để thêm vào.

Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mới gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó. Nói chính xác hơn, tập hợp mới gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Phép giao được kí hiệu là ∩. Định nghĩa:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Ví dụ: A = {1; 3; 5; 7; 9} và B = {4; 5; 6; 7}. Giao của chúng là A ∩ B = {5; 7}. Ví dụ khác: A = {a; b; c; d; e} và B = {f; g; h; i; j}. Giao của chúng là: A ∩ B = ∅. Hai tập hợp này không có phần tử chung nào, nên giao của chúng là tập rỗng.

Các tính chất khác:

• A ∩ A = A: giao của hai tập hợp giống nhau lại là chính tập hợp đó.
• A ∩ B = B ∩ A: phép giao có tính chất giao hoán, thứ tự không quan trọng.
• A ∩ ∅ = ∅: tập rỗng không có phần tử nào, nên chắc chắn không có phần tử chung với tập hợp A.

Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của hai tập hợp được kí hiệu bằng dấu trừ thông thường − hoặc tốt hơn là bằng dấu gạch chéo ngược ∖. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Nói đơn giản, ta xem tập hợp thứ nhất có những phần tử nào chung với tập hợp thứ hai rồi bỏ các phần tử đó đi. Định nghĩa:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Ví dụ: A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {4; 5; 6; 7; 8}. Khi đó hiệu bằng A ∖ B = {1; 2; 3}. Đó là các phần tử còn lại sau khi bỏ khỏi tập hợp A tất cả các phần tử thuộc tập hợp B. Ví dụ khác: A = {a; b; d; e}. Hiệu A ∖ A = ∅.

Các tính chất khác:

• A ∖ A = ∅: giống như khi lấy hai số bằng nhau trừ cho nhau ta được 0 (chẳng hạn 5 − 5 = 0), khi lấy hiệu của hai tập hợp giống nhau ta được tập rỗng.
• A ∖ ∅ = A: tập rỗng không có phần tử nào, nên không bỏ được phần tử nào khỏi tập hợp A.

Phần bù của một tập hợp

Phần bù của tập hợp A có nhiều cách kí hiệu: hay gặp nhất là dấu phẩy trên A' hoặc gạch ngang phía trên $\bar{A}$ (SGK viết C_E A, đọc là “phần bù của A trong E”). Để đơn giản, trong bài này ta dùng gạch ngang. Để tìm phần bù của tập hợp A, cần biết ta lấy phần bù trong tập hợp nào. Phần bù gồm tất cả các phần tử không thuộc tập hợp A, nên nó giống như một kiểu “ngược lại” của tập hợp A.

Nếu tập hợp chính (tập hợp vũ trụ) là M = {1; 2; 3; …; 9; 10} thì phần bù của tập hợp A = {2; 4; 6; 8; 10} trong M là tập hợp $\bar{A}=\{1;3;5;7;9\}$. Nó gồm tất cả các phần tử của M không thuộc A. Ta có thể nói rằng phần bù $\bar{A}$ trong M bằng M ∖ A.

Nếu lấy tập hợp chính là tập các số nguyên thì phần bù của tập các số chẵn là tập các số lẻ. Phần bù của tập hợp A = {1; 2; 3; 4} là tập hợp $\bar{A}=\{\dots ;-3;-2;-1;0;5;6;7;\dots \}$.

Nếu lấy phần bù hai lần, ta lại được tập hợp ban đầu. Chẳng hạn với các số nguyên: phần bù của tập các số chẵn là tập các số lẻ, và phần bù của tập các số lẻ lại là tập các số chẵn. Vậy $A=\overline{\stackrel{―}{A}}$ (phần bù của phần bù của A).