Векторно подпространство

Векторното подпространство е подмножество на някакво векторно пространство, което все още е затворено относно събирането и умножението със скалар.

Определение

Нека имаме някакво векторно пространство V. Векторно подпространство W би било някакво подмножество на пространството V, като множеството W е също векторно пространство. Непразното подмножество W ⊆ V трябва да удовлетворява тези две условия, за да бъде векторно подпространство на пространството V: за всички x, y ∈ W и за всяко a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Трябва да изберем такова подмножество на V, че тези вектори да са затворени относно събирането и умножението.

Подпространство на пространството R³

Ще опитаме да вземем пространството ℝ³ и ще намерим някакво подпространство.

1. Какво ще кажеш например за всички тройки от вида (a; a; a), където a ∈ ℝ? Тоест тройки като $(1;1;1),(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ или (−π; −π; −π). Такова подпространство, нека го означим с W₁, би било подмножество на пространството ℝ³, тоест W₁ ⊆ ℝ³, защото ℝ³ просто съдържа всички тройки.

Такова пространство би било затворено относно операцията събиране на вектори, защото

$$(a;a;a)+(b;b;b)=(a+b;a+b;a+b).$$

След събирането на два вектора бихме получили нов вектор, който отново би имал три еднакви члена, а такъв вектор се съдържа в множеството W₁. Множеството W₁ удовлетворява първото условие за векторно подпространство. Удовлетворява ли обаче второто условие?

Да, удовлетворява, защото k-кратното отново променя и трите компонента на вектора, но ги променя по съвсем един и същ начин:

$$k\cdot (a;a;a)=(k\cdot a;k\cdot a;k\cdot a).$$

Отново получаваме вектор, който има и трите компонента еднакви, а такъв вектор е в множеството W₁. Множеството W₁ е векторно подпространство на ℝ³.

• Можем да опитаме да вземем всички тройки (a; b; c), такива, че a, b, c ∈ [−1; 1]. Това множество ще означим с W₂ и елементите му са например тройките $(\frac{1}{2};-\frac{2}{7};\frac{8}{9})$ или $(0;\frac{\pi }{4};1)$. Затворени ли са елементите на W₂ относно събирането? Със сигурност не са, защото $(1;1;1)+(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4})$ е равно на тройката $(\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4})$, която не принадлежи на W₂. Множеството W₂ не образува подпространство на пространството ℝ³, множеството W₂ изобщо не образува пространство.

• Сега вземаме всички тройки от вида (a; 0; b), където a, b ∈ ℝ. Това са всички тройки, които имат нулев втори компонент. Нека означим това множество с W₃. Затворено ли е това множество относно събирането? Да, затворено е, защото

$$(a;0;b)+(c;0;d)=(a+c;0;b+d)$$

Резултатът е тройката (a + c; 0; b + d), която има нулев втори компонент, а на другите два има реални числа. Тази тройка със сигурност е в W₃. Затворено ли е W₃ относно умножението? Да, затворено е, защото

$$k\cdot (a;0;b)=(k\cdot a;0;k\cdot b)$$

Отново получаваме тройката (k · a; 0; k · b), която винаги има нулев втори компонент, а останалите компоненти са реални числа. Такава тройка е елемент на W₃. Множеството W₃ образува подпространство на пространството ℝ³. Обърни внимание, че ако тройките имаха вида (a; b; 0) или (a; 0; 0), те също щяха да образуват векторно подпространство.

Подпространство на многочлените

В предишната статия показахме векторно пространство, съставено от многочлени. За припомняне: многочленът е израз от вида

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Допускаме, че a_n ≠ 0. Степента на такъв многочлен е числото n. Реалните числа a₀, …, a_n наричаме коефициенти на многочлена. Пример за многочлен може да бъде изразът 4 + 3x − 7x². Ще опитаме да намерим някакво векторно подпространство. Нека имаме векторното пространство P(x) на всички многочлени.

1. Първо ще опитаме множеството на всички многочлени от степен n, където n ≥ 0, нека означим това множество с W₁. В предишната статия вече казахме, че то изобщо не е векторно пространство, така че трудно ще е векторно подпространство на пространството P(x). Нека повторим, че когато например умножим многочлен от W₁ по нула, получаваме многочлена p(x) = 0, който по определение има степен −1. Този елемент със сигурност не е в никое W₁.

2. Ще опитаме да вземем за W₂ всички многочлени от степен n и по-малка. Така за n = 2 в W₂ ще бъдат всички многочлени от степен 2, 1, 0, −1. Затворено ли е това множество относно събирането? Да, затворено е, защото сборът на два многочлена от степен n никога няма да е от степен, по-голяма от n, може да е само по-малка. По същия начин това множество е затворено относно умножението, защото което и да е k-кратно на многочлена p(x) може да има за резултат или многочлен от същата степен, или нулев многочлен. И двете възможности покрива множеството W₂, така че W₂ образува подпространство на пространството P(X).

Основни свойства на подпространствата

Нека имаме векторно пространство V и две негови подпространства W₁ и W₂. Тогава е изпълнено, че

1. Сечението W₁ ∩ W₂ е векторно подпространство на V.

   Нека имаме векторното пространство ℝ³ и подпространства W₁ и W₂, такива че W₁ е образувано от тройки от вида (a; b; 0), а W₂ – от тройки от вида (a; 0; b), където a, b ∈ ℝ. Сечението W₁ ∩ W₂ ще бъде множеството, съдържащо тройки от вида (a; 0; 0) – такова множество очевидно е подпространство на пространството ℝ³.

   Това разбира се не е доказателство. То би изглеждало така: вземаме произволно векторно пространство V и две негови подпространства W₁ и W₂. Искаме да докажем, че за всички x, y ∈ W₁ ∩ W₂ е изпълнено, че x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Тъй като векторите x и y се съдържат в сечението W₁ ∩ W₂, със сигурност трябва да е изпълнено, че x, y ∈ W₁ и x, y ∈ W₂ (това е в сила по определението за сечение на множества). Тъй като W₁ и W₂ са също векторни пространства, трябва да е изпълнено и че x + y ∈ W₁ и трябва да е изпълнено x + y ∈ W₂ (това е в сила от определението за векторни пространства). Сега обаче имаме, че x + y ∈ W₁ и x + y ∈ W₂, от което следва, че x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (отново въз основа на определението за сечение на множества – ако един елемент лежи в множеството W₁ и лежи и в множеството W₂, трябва да лежи и в тяхното сечение).

   Освен това трябва да проверим затвореността на умножението. Трябва да докажем, че за всички k ∈ ℝ и x ∈ W₁ ∩ W₂ е изпълнено, че k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Процедурата ще е същата. Тъй като x ∈ W₁ ∩ W₂, то x ∈ W₁ и x ∈ W₂. Тъй като W₁ и W₂ са пространства, то k · x ∈ W₁ и k · x ∈ W₂ и следователно k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Обединението W₁ ∪ W₂ не е непременно подпространство на V.

   За да докажем второто свойство, е достатъчно да намерим подходящ контрапример. Ще се задоволим с предишните пространства W₁ и W₂, които имат тройки от вида (a; b; 0), съответно (a; 0; b). Ако направим обединението им, получаваме всички тройки, които трябва да имат нула на второ или на трето място. Така векторите (1; 0; 1) и (1; 1; 0) със сигурност са в обединението W₁ ∪ W₂. Сборът им обаче е равен на вектора (2; 1; 1), който няма нито една нула. Този вектор не е нито в W₁, нито в W₂, така че не може да е и в W₁ ∪ W₂. Намерихме два вектора, чийто сбор не принадлежи на същото множество, така че не може да става дума за векторно пространство.