Nghịch lí ngày sinh

Cần bao nhiêu người trong một lớp học hay một bữa tiệc để với xác suất ít nhất 50% có 2 người trùng ngày sinh? Năm sinh không quan trọng, chỉ tính ngày và tháng. Trực giác của đa số mọi người gợi ý một con số khoảng 183, tức là nửa năm. Câu trả lời đúng là 23.

Đây chỉ là nghịch lí bề ngoài. Không có mâu thuẫn nào cả, chỉ là trực giác kéo ta đi hoàn toàn sai hướng.

Vì sao lại ít như vậy?

Khi nghe câu hỏi về sinh nhật trùng nhau, ta thường nghĩ đến bản thân: có ai trùng sinh nhật với tôi không? Nhưng câu hỏi lại nhắm vào chỗ khác. Không phải tìm người trùng sinh nhật với tôi, mà tìm 2 người bất kì trong nhóm trùng sinh nhật với nhau.

Trong một nhóm có nhiều cặp hơn ta tưởng rất nhiều. Trong nhóm 23 người, mỗi người có thể tạo cặp với 22 người khác. Như vậy ta được 23 · 22, nhưng mỗi cặp đã được đếm hai lần (Lan với Minh và Minh với Lan), nên số cặp là

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Đó chính là số tổ hợp ${\mathrm{C}}_{23}^2$. Mỗi cặp cho một cơ hội trùng nhau, và 253 lần thử đã là khá nhiều.

Cách tính

Giả sử một năm có 365 ngày, bỏ qua ngày 29 tháng 2 và mọi ngày đều đồng khả năng. Thực tế số trẻ sinh ra trong năm có chênh lệch đôi chút giữa các ngày, nhưng điều đó hầu như không ảnh hưởng đến kết quả.

Tính trực tiếp xác suất có ít nhất 2 người trùng nhau thì rất vất vả. Có thể 2 người trùng nhau, 3 người, hai cặp khác nhau… Vì vậy ta đi đường vòng qua biến cố đối: tính xác suất để mọi người có sinh nhật vào những ngày khác nhau, rồi lấy 1 trừ đi.

Bắt đầu với 3 người. Người thứ nhất có thể sinh vào ngày bất kì, tức là $\frac{365}{365}$. Người thứ hai phải sinh vào ngày khác với người thứ nhất, nên chỉ còn 364 ngày trong 365 ngày. Người thứ ba không được rơi vào 2 ngày đã có người, nên còn 363 ngày để chọn. Nhân các xác suất lại:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Xác suất để 2 trong 3 người trùng sinh nhật là 1 − 0,9918 = 0,0082, chưa đến 1%.

Với 23 người cách làm cũng vậy, chỉ có nhiều phân số hơn. Người thứ 23 có 365 − 22 = 343 ngày để chọn:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

Với xác suất khoảng 0,4927, mọi người có sinh nhật vào những ngày khác nhau. Lấy 1 trừ đi:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Xác suất để có ít nhất 2 trong 23 người trùng ngày sinh vào khoảng 50,7%. Với 22 người con số đó vẫn chỉ là 47,6%, nên 23 là số người nhỏ nhất để khả năng vượt quá một nửa.

Mỗi khi thêm một người, xác suất tăng nhanh. Với 10 người, xác suất khoảng 12%, với 30 người khoảng 71%, với 50 người khoảng 97% và với 70 người đã hơn 99,9%. Nếu một lớp có 30 học sinh mà không có 2 bạn nào trùng sinh nhật thì đó mới là chuyện hơi may mắn.

Còn sinh nhật của tôi thì sao?

Trở lại câu hỏi mà người ta nghĩ đến đầu tiên: cần bao nhiêu người để có ít nhất 1 người có sinh nhật trùng ngày với tôi?

Ở đây cách tính khác. Mỗi người trong n người có sinh nhật khác ngày với tôi với xác suất $\frac{364}{365}$, độc lập với những người khác. Ta cần

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Với n = 252 ta được khoảng 0,4991, vẫn chưa đủ. Với n = 253 ta được khoảng 0,5005, nên cần 253 người. Nhân tiện, đó cũng đúng bằng số cặp trong nhóm 23 người. Điều này không hoàn toàn ngẫu nhiên: 253 cặp là 253 cơ hội trùng nhau, giống như 253 người được so với tôi. Nhưng việc ra đúng cùng một con số thì có phần may mắn. Ngoài ra các cặp ảnh hưởng lẫn nhau đôi chút, vì vậy với 23 người ta được 50,7% chứ không phải 50,05%.

Xem thêm

• Biến cố đối
• Xác suất
• Tổ hợp
• Bài toán ba cánh cửa