Hàm số lôgarit

Hàm số lôgarit là hàm số ngược của hàm số mũ.

Lôgarit là gì

Hàm số lôgarit kí hiệu là log, riêng lôgarit tự nhiên (xem phần sau) kí hiệu là ln. Hàm số lôgarit có dạng:

$$y={\log }_{a}x$$

Kí hiệu này đọc là: “lôgarit cơ số a của x”. Hàm số lôgarit này là hàm số ngược của hàm số mũ f(x) = a^x. Giá trị của hàm số lôgarit gọi là lôgarit.

Vì hàm số lôgarit là hàm số ngược của hàm số mũ nên ta có:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Nghĩa là nếu a^y bằng x thì lôgarit cơ số a của x bằng y. Ta xét một ví dụ. Cho hàm số mũ f(x) = 2^x. Hàm số ngược (hàm số lôgarit) tương ứng có dạng thế nào? Đó là f⁻¹(x) = log₂x. Thay số 3 vào hàm số mũ, ta được: f(3) = 2³ = 8.

Khi đó phải có hệ thức nào? Nếu thay số 8 vào hàm số ngược f⁻¹ thì hàm số lôgarit phải cho kết quả là 3, vì số 3 là đối số của hàm số mũ, còn số 8 là kết quả. Hàm số ngược hoạt động theo chiều ngược lại: đầu vào là số 8, đầu ra là số 3. Có thể kiểm tra điều này, chẳng hạn trên Google (Google dùng kí hiệu lg cho lôgarit cơ số 2, không phải lôgarit thập phân như trong sách giáo khoa).

Như vậy, từ 2³ = 8, qua hàm số ngược (hàm số lôgarit) ta được hệ thức: log₂8 = 3. Vậy lôgarit là gì? Lôgarit là số mũ mà ta cần nâng cơ số lên để được đối số x.

Các hàm số lôgarit quan trọng

Một số hàm số lôgarit đặc biệt quan trọng. Trước hết là “lôgarit tự nhiên”, có cơ số là số e, kí hiệu bằng chữ e. Đó là một số vô tỉ, tức là số có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn. Giá trị gần đúng là: e = 2,718 281 828…. Lôgarit tự nhiên viết là log_ex hoặc gọn hơn là ln x. Chữ “n” lấy từ tiếng Latinh “logarithmus naturalis”; để dễ nhớ, chỉ cần nghĩ đến tiếng Anh: “natural” = “tự nhiên”.

Một lôgarit quan trọng khác là “lôgarit thập phân”, tức hàm số lôgarit cơ số 10. Lôgarit thập phân thường viết là log₁₀x hoặc chỉ log x. Nếu lôgarit không ghi cơ số thì hiểu là cơ số 10.

Tính chất của hàm số lôgarit

Như đã biết, hàm số lôgarit là hàm số ngược của hàm số mũ. Nhờ vậy, hàm số lôgarit thừa hưởng một số tính chất và điều kiện của hàm số mũ. Ta biết rằng hàm số mũ có dạng f(x) = a^x, trong đó a là số thực lớn hơn 0 và khác 1. Do đó cơ số a của lôgarit cũng phải lớn hơn 0 và khác 1. Ta viết lại hàm số lôgarit kèm điều kiện:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Vì đây là hàm số ngược nên ta cũng biết ngay tập xác định và tập giá trị. Tập xác định của hàm số lôgarit trùng với tập giá trị của hàm số mũ, tức là khoảng (0; +∞). Tập giá trị của hàm số lôgarit trùng với tập xác định của hàm số mũ, tức là tập hợp tất cả các số thực.

Đồ thị hàm số lôgarit

Tương tự như với hàm số mũ, ta phải phân biệt hai trường hợp: cơ số a thuộc khoảng (0; 1) và cơ số thuộc khoảng (1; +∞). Trong trường hợp thứ nhất, tức a thuộc khoảng (0; 1), đồ thị có dạng như sau:

Khi cơ số a thuộc khoảng (1; +∞), đồ thị có dạng như sau:

Dưới đây là đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit tương ứng trên cùng một hệ trục (đường màu xanh dương là hàm số lôgarit, đường màu đỏ là hàm số mũ):

Vì sao đồ thị đi qua điểm (1; 0)

Cả hai đồ thị đều cắt trục hoành tại điểm x = 1. Điều này là hợp lí, vì đồ thị của mọi hàm số mũ đều đi qua điểm (0; 1). Do hàm số lôgarit là hàm số ngược của hàm số mũ nên đồ thị hàm số lôgarit luôn đi qua điểm (1; 0). Thật vậy, đồ thị đi qua điểm (1; 0) nghĩa là với đầu vào x = 1 ta có đầu ra f(x) = 0.

Với lôgarit, điều đó có nghĩa là ta tìm số mũ sao cho khi nâng cơ số lên số mũ đó thì được 1. Đó là số mũ nào? Chỉ có thể là 0. Mọi luỹ thừa với số mũ 0 đều bằng 1, nên dù cơ số là bao nhiêu, đồ thị hàm số lôgarit vẫn đi qua điểm (1; 0). (Lưu ý: cơ số không thể tuỳ ý mà phải thoả mãn a>0 và a ≠ 1.)

Các quy tắc tính lôgarit (công thức)

Sau đây là một số hệ thức và công thức quan trọng về lôgarit.

Giả sử a thoả mãn điều kiện của cơ số lôgarit, tức là a>0, a ≠ 1. Cho x₁ và x₂ là hai số thực dương tuỳ ý. Khi đó:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Một số hệ thức suy ra trực tiếp từ định nghĩa lôgarit:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Biểu diễn lôgarit bất kì qua lôgarit tự nhiên

Đôi khi, chẳng hạn trên máy tính cầm tay, ta không có sẵn lôgarit với cơ số tuỳ ý mà chỉ có lôgarit tự nhiên và lôgarit thập phân. Vậy cần tính lôgarit với cơ số khác thì làm thế nào? Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Chọn b là số e, ta được công thức:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Ở phần đầu, ta cần tính lôgarit cơ số 2 của 8. Dùng lôgarit tự nhiên, ta tính như sau:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Kết quả này cũng có thể kiểm tra trên Google. Không nhất thiết phải dùng lôgarit tự nhiên: công thức cho phép dùng cả lôgarit thập phân. Vì vậy ta cũng có:

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Đừng quên: nếu không ghi cơ số thì hiểu là cơ số a = 10.) Lại kiểm tra trên Google.

Máy tính lôgarit

Nếu cần tính lôgarit, có thể dùng máy tính lôgarit 🧮.