Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng p là vectơ vuông góc với đường thẳng p, toạ độ của nó lấy từ phương trình tổng quát của đường thẳng.

Đặt vấn đề

Cho đường thẳng p đi qua hai điểm A(0; 1), B(2; 5). Đường thẳng này là đồ thị của hàm số y = 2x + 1, nên phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng −2x + y − 1 = 0. Hình vẽ:

Phương trình tổng quát có dạng ax + by + c = 0, nên với phương trình −2x + y − 1 = 0 ta có a = −2, b = 1, c = −1. Các hệ số a, b có ý nghĩa hình học gì? Ta thử vẽ vào hình vectơ $\overrightarrow{u}=(a;b)$, tức là vectơ $\overrightarrow{u}=(-2;1)$:

Có thể thấy khá rõ vectơ này vuông góc với đường thẳng p. Đây không phải là ngẫu nhiên: với mọi phương trình tổng quát ax + by + c = 0 của đường thẳng, vectơ (a; b) đều vuông góc với đường thẳng đó. Vectơ như vậy gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng p.

Tính chất của vectơ pháp tuyến

Từ tính chất của tích vô hướng, ta biết tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc với nhau. Vì vectơ chỉ phương của đường thẳng p song song với đường thẳng p nên mọi vectơ chỉ phương của đường thẳng p đều vuông góc với vectơ pháp tuyến. Tính vectơ chỉ phương từ $\overrightarrow{AB}$, ta được vectơ

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2;5)-(0;1)=(2;4)$$

Biểu diễn trên hình:

Nhắc lại, tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa là

$$(u_1;u_2)\cdot (v_1;v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.$$

Từ đó suy ra với hai số thực a, b bất kì, tích vô hướng của hai vectơ (a; b) và (−b; a), cũng như của hai vectơ (a; b) và (b; −a), luôn bằng 0:

$$\begin{array}{rcl}(a;b)\cdot (-b;a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a;b)\cdot (b;-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Bây giờ trở lại đường thẳng p có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 và vectơ pháp tuyến (a; b) vuông góc với nó. Theo tính chất vừa nêu, các vectơ (−b; a) và (b; −a) có tích vô hướng với vectơ pháp tuyến bằng 0, nên chúng vuông góc với vectơ pháp tuyến. Mà vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng, nên vectơ vuông góc với vectơ pháp tuyến phải song song với đường thẳng p ban đầu. Thật thú vị!

Ta vẽ vào hình hai vectơ ${\overrightarrow{v}}_1=(-b;a)$ và ${\overrightarrow{v}}_2=(b;-a)$. Đường thẳng có phương trình tổng quát −2x + y − 1 = 0, nên thay số ta được hai vectơ màu xanh lá ${\overrightarrow{v}}_1=(-1;-2)$ và ${\overrightarrow{v}}_2=(1;2)$:

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng từ vectơ pháp tuyến và một điểm

Ta đã biết có thể dễ dàng tìm phương trình tổng quát từ phương trình tham số. Nếu biết vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ thì cũng dễ dàng lập được phương trình tổng quát. Cho điểm A(5; 13) mà đường thẳng p đi qua và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(4;-6)$ của nó. Đường thẳng p có phương trình tổng quát ax + by + c = 0; theo định nghĩa vectơ pháp tuyến, ta xác định ngay được các hệ số a = 4, b = −6, chính là toạ độ của vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

$$4x-6y+c=0$$

Còn phải tính hệ số c. Phương trình của đường thẳng p phải đúng với mọi điểm thuộc đường thẳng p. Nghĩa là khi thay x, y bằng toạ độ của một điểm thuộc đường thẳng p, đẳng thức phải đúng. Chỉ cần thay toạ độ điểm A, điểm mà đường thẳng p chắc chắn đi qua. Điểm A có toạ độ A(5; 13), nên thay x = 5, y = 13 vào phương trình 4x − 6y + c = 0:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng p là

$$4x-6y+58=0.$$

Hai vectơ chỉ phương của đường thẳng p là ${\overrightarrow{u}}_1=(6;4)$ và ${\overrightarrow{u}}_2=(-6;-4)$.