Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc gắn với số đo của góc mà đường thẳng tạo với trục x.

Đặt vấn đề

Cho đường thẳng p có phương trình tổng quát ax + by + c = 0. Ta biết đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Hàm số thường được viết dưới dạng y = f(x). Vì vậy ta muốn đưa phương trình tổng quát ax + by + c = 0 về dạng này. Để làm được, cần có b ≠ 0, vì ta phải rút y từ phương trình, tức là chia cả hai vế cho b. Khi b ≠ 0, có thể biến đổi phương trình tổng quát như sau:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ rút }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Ta được công thức của một hàm số bậc nhất thông thường. Vì cách viết này khá cồng kềnh nên ta đặt

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

và khi đó có thể viết phương trình trên dưới dạng:

$$y=kx+q$$

Đây không phải dạng gì mới, ta chỉ viết q thay cho phân số rườm rà $-\frac{c}{b}$. Vì kx + q là một hàm số bậc nhất thông thường (hoặc hàm hằng khi k = 0), đường thẳng viết ở dạng này không thể song song với trục y. Điều đó đã bị loại trừ ngay từ khi ta yêu cầu b ≠ 0.

Nếu b = 0 thì đường thẳng song song với trục y và phương trình tổng quát của nó có dạng ax + c = 0. Chia hai vế cho a rồi biến đổi, ta được:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Phân số $-\frac{c}{a}$ cũng rườm rà, nên ta đặt $m=-\frac{c}{a}$ và cuối cùng được phương trình

$$x=m$$

Tóm lại, mọi đường thẳng không song song với trục y đều có thể viết dưới dạng y = kx + q với k, q ∈ ℝ, còn mọi đường thẳng song song với trục y đều có thể viết dưới dạng x = m với m ∈ ℝ.

Phương trình dạng y = kx + q gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số góc, hệ số k gọi là hệ số góc của đường thẳng, còn q là tung độ gốc.

Ví dụ

Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 8), B(8; 10). Viết phương trình của đường thẳng theo hệ số góc. Cách tiện nhất là xuất phát từ phương trình tổng quát của đường thẳng, nên trước hết ta lập phương trình đó. Phương trình tổng quát có dạng ax + by + c = 0, trong đó (a; b) là vectơ pháp tuyến, nên ta tìm vectơ pháp tuyến. Vectơ chỉ phương có toạ độ (8; 10) − (2; 8) = (6; 2), nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ có toạ độ (−2; 6). Thay a = −2, b = 6 vào phương trình tổng quát:

$$-2x+6y+c=0$$

Thay (x; y) bằng toạ độ của một điểm mà đường thẳng chắc chắn đi qua, chẳng hạn điểm B(8; 10). Thay x = 8, y = 10 vào phương trình:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Ta được phương trình tổng quát

$$-2x+6y-44=0$$

Chia hai vế cho −2, ta được dạng gọn hơn:

$$x-3y+22=0$$

Để có phương trình theo hệ số góc, ta rút y. Chuyển tất cả các hạng tử còn lại sang vế phải rồi chia hai vế cho 3:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Dòng cuối là phương trình đường thẳng theo hệ số góc. Các hệ số là $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Dưới đây là đồ thị của đường thẳng với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$:

Nếu hệ số q không ra một phân số khó nhìn như $\frac{22}{3}$ thì nhìn qua cũng thấy ngay q là tung độ giao điểm của đường thẳng với trục y. Giao điểm với trục y có hoành độ x = 0. Thay vào phương trình $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, ta được $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, tức là với x = 0 thì $y=\frac{22}{3}$.

Hệ số góc của đường thẳng

Với phương trình đường thẳng theo hệ số góc y = kx + q, số k gọi là hệ số góc của đường thẳng. Hệ số góc liên quan đến góc mà đường thẳng tạo với chiều dương của trục x. Xét hình sau:

Hình vẽ bốn đường thẳng có hệ số góc k khác nhau nhưng cùng hệ số q = 2. Như vậy tất cả các đường thẳng đều có dạng y = kx + 2. Để ý rằng khi hệ số góc, tức số đứng trước ẩn x, thay đổi dần thì góc mà đường thẳng tạo với chiều dương của trục x cũng thay đổi theo. Chẳng hạn, đường thẳng màu tím $y=\frac{1}{2}x+2$ tạo với trục góc δ, đường thẳng màu đỏ y = x + 2 tạo với trục góc γ, còn đường thẳng màu xanh lá y = 2x + 2 tạo với trục góc β.

Trong trường hợp này, hệ số góc càng lớn thì góc mà đường thẳng tạo với trục cũng càng lớn. Hệ số góc của đường thẳng màu tím $y=\frac{1}{2}x+2$ là $k_1=\frac{1}{2}$, của đường thẳng màu xanh lá y = 2x + 2 là k₂ = 2, nên k₁ < k₂. Đồng thời δ < β. Nhưng chẳng hạn hệ số góc của đường thẳng màu xanh dương y = −2x + 2 là k₃ = −2, nhỏ hơn tất cả các hệ số góc trên, vậy mà góc α lại lớn nhất.

Ta thấy hệ số góc k có liên hệ nào đó với góc. Hãy xem xét kĩ hơn. Ta chỉ vẽ đường thẳng màu tím $y=\frac{1}{2}x+2$ và xét góc δ. Chọn trên đường thẳng hai điểm phân biệt bất kì A, B và dựng tam giác vuông ABC như trên hình. Hai góc δ và ϵ bằng nhau, vì đó là hai góc đồng vị.

Bây giờ ta biểu diễn góc ϵ qua các đoạn thẳng AC và BC. Muốn vậy, cần biết độ dài của các đoạn thẳng này. Kí hiệu toạ độ các điểm A và B như sau: A = (x₁; y₁) = (2; 3) và B = (x₂; y₂) = (6; 5). Độ dài đoạn thẳng AC bằng hiệu |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Ta lấy hoành độ của điểm B, bằng hoành độ của điểm C, rồi trừ đi hoành độ của điểm A. Kết quả là độ dài đoạn thẳng AC. Với đoạn thẳng BC làm tương tự, chỉ khác là lấy tung độ. Ta có |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Tiếp theo ta dùng hàm số lượng giác, cụ thể là tang. Trong tam giác vuông ABC, với góc ϵ ta có $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tang của góc ϵ bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề. Thay độ dài các đoạn thẳng vào, ta được:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Vậy tang của góc ϵ (cũng là góc δ) bằng $\frac{1}{2}$. Tang của góc mà đường thẳng tạo với chiều dương của trục x bằng $\frac{1}{2}$. Mà phương trình của đường thẳng này là $y=\frac{1}{2}x+2$, tức là tang của góc mà đường thẳng tạo với chiều dương của trục x bằng hệ số góc của đường thẳng! Đây không phải là ngẫu nhiên, điều này đúng trong mọi trường hợp:

Nếu đường thẳng p có phương trình theo hệ số góc y = kx + q thì hệ số góc k bằng tang của góc mà đường thẳng p tạo với chiều dương của trục x.