Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng nhận được từ phương trình tham số của đường thẳng bằng cách khử tham số t.

Đặt vấn đề

Nhắc lại hàm số bậc nhất: đồ thị của nó chính là một đường thẳng. Dạng cơ bản của hàm số bậc nhất là y = ax + b. Xét đường thẳng p đi qua hai điểm A(0; 3), B(2; 7):

Ta tìm hàm số bậc nhất có đồ thị chính là đường thẳng p này. Hàm số có dạng y = ax + b. Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3), nghĩa là tại x₁ = 0 hàm số có giá trị y₁ = 3. Do đó phải có a · 0 + b = 3. Vì đường thẳng đi qua điểm B(2; 7) nên tại x₂ = 2 hàm số có giá trị y₂ = 7, tức là đồng thời phải có a · 2 + b = 7. Ta cần tìm các hệ số a, b. Ta được hệ phương trình:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Từ phương trình thứ nhất a · 0 + b = 3 ta tìm ngay được hệ số b = 3. Thay kết quả này vào phương trình thứ hai, tức là thay b bằng 3 trong phương trình a · 2 + b = 7:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Vậy ta có cả hai hệ số: a = 2, b = 3. Hàm số mô tả đường thẳng trên là y = 2x + 3. Thay x = 1, ta được y = 2 + 3 = 5, khớp với đồ thị. Có thể viết lại y = 2x + 3 sao cho vế phải bằng 0, tức là cộng hai vế với −(2x + 3). Ta được phương trình:

$$y-2x-3=0$$

Phương trình này gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng

Cách làm trên hơi phức tạp và còn không áp dụng được khi đường thẳng song song với trục y, tức là đường thẳng đứng, vì đường thẳng như vậy không phải đồ thị của hàm số nào. Vì vậy ta định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng theo cách khác. Mọi phương trình bậc nhất dạng

$$ax+by+c=0,$$

trong đó a,b,c ∈ ℝ và a, b không đồng thời bằng 0, là phương trình của một đường thẳng trong mặt phẳng. Ngược lại, mọi đường thẳng trong mặt phẳng đều có thể viết dưới dạng này. Phương trình này gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Có thể dễ dàng tìm phương trình này từ phương trình tham số của đường thẳng. Giả sử đường thẳng có phương trình tham số

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

ta tìm phương trình tổng quát bằng cách khử tham số t trong phương trình tham số. Ví dụ: vẫn xét đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 3), B(2; 7) ở trên. Ta tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ từ $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(2;7)-(0;3)=(2;4)$$

Hình vẽ đường thẳng p với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$:

Viết phương trình tham số với điểm A và vectơ $\overrightarrow{u}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Để có phương trình tổng quát, ta phải cộng hai phương trình này sao cho tham số t bị triệt tiêu. Trước hết, nhân phương trình thứ nhất với −2, giữ nguyên phương trình thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Bây giờ cộng hai phương trình, ta được một phương trình:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Đây là phương trình tổng quát của đường thẳng p. Ta được đúng phương trình như cách làm trước.

Ý nghĩa của phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát xác định tất cả các điểm tạo nên đường thẳng. Nếu thay x,y trong phương trình tổng quát ax + by + c = 0 bằng các số thực sao cho đẳng thức đúng thì (x; y) là một điểm thuộc đường thẳng. Trở lại đường thẳng có phương trình tổng quát y − 2x − 3 = 0. Thay x = 1, y = 5, ta được:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Nghĩa là điểm (1; 5) thuộc đường thẳng. Thử thay x = 2, y = 3, ta được:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Đẳng thức không đúng, nên điểm (2; 3) không thuộc đường thẳng p. Có thể kiểm tra lại trên hình:

Đường thẳng đứng

Như đã nói, phương trình tổng quát của đường thẳng đứng p không tìm được bằng cách làm ở phần đầu, vì đường thẳng đứng không phải đồ thị của hàm số nào. Tuy vậy, đường thẳng như vậy vẫn có phương trình tổng quát, tìm được theo cách làm ở phần trước.

Ta minh hoạ với đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 2), B(4; 8). Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là:

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(4;8)-(4;2)=(0;6)$$

Hình vẽ:

Phương trình tham số với điểm A và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Bây giờ cần khử tham số t. Nhưng phương trình thứ nhất đã giúp ta việc đó: trong phương trình thứ nhất không có tham số t (hệ số của nó bằng 0), nên có thể dùng luôn phương trình này làm phương trình tổng quát của đường thẳng p. Vậy đường thẳng p có phương trình tổng quát

$$x-4=0$$

Tức là các hệ số a,b,c trong phương trình ax + by + c = 0 là a = 1, b = 0, c = −4.

Đường thẳng nằm ngang

Xét thêm một ví dụ với đường thẳng nằm ngang đi qua hai điểm A(2; 1), B(5; 1). Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là:

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(5;1)-(2;1)=(3;0)$$

Hình vẽ:

Phương trình tham số của đường thẳng với điểm A là:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Một lần nữa ta không cần khử tham số t, vì trong phương trình thứ hai hệ số của nó bằng 0. Có thể dùng luôn phương trình thứ hai làm phương trình tổng quát của đường thẳng p:

$$y-1=0$$