Tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị cho phép có thể thay cho đối số x trong hàm số f(x) sao cho hàm số có nghĩa.

Tập xác định của hàm số là gì

Một ví dụ đơn giản là hàm số f(x) = 1/x. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị cho phép, tức là những giá trị mà khi thay vào 1/x ta được một biểu thức có nghĩa.

Để biết thế nào là “biểu thức có nghĩa”, ta cần biết tính chất của các hàm số và phép toán. Trong hàm số này, ta chia cho biến x, tức x nằm ở mẫu của phân thức. Có thể chia cho những số nào? Mọi số, trừ số 0. Không thể chia cho 0, nên 0 cũng không được nằm ở mẫu. Phép chia không có hạn chế nào khác.

Vì vậy có thể thay x bằng bất kì số thực nào khác 0. Tập xác định là: D = ℝ ∖ {0}. Tập xác định thường được kí hiệu bằng chữ D; khi xét nhiều hàm số cùng lúc, ta ghi tên hàm ở chỉ số dưới, chẳng hạn D_f.

Ở trên ta đã tìm tập xác định lớn nhất. Nhưng vì tập xác định được định nghĩa là tập hợp các giá trị có thể thay cho x, nên mọi tập con của tập xác định cũng lại là một tập xác định. Đôi khi cần giới hạn hàm số chỉ trên một số giá trị x nào đó. Chẳng hạn, với dãy số ta chỉ xét các số nguyên dương, còn trong lượng giác ta thường chỉ xét đoạn [0; 2π].

Tuy nhiên, khi đề bài yêu cầu tìm tập xác định của hàm số thì thường hiểu là tìm tập xác định lớn nhất có thể.

Tập xác định cũng có thể đọc được từ đồ thị hàm số. Ví dụ, xét đồ thị của hàm số f(x) = 1/x ở trên.

Chiếu đồ thị xuống trục hoành, ta được tập xác định. Nếu điểm x không thuộc tập xác định thì đường thẳng đứng vuông góc với trục hoành tại điểm đó không cắt đồ thị tại điểm nào. Ta thấy chỉ có số 0 thoả mãn điều kiện này: “phía trên và phía dưới” nó không có điểm nào của đồ thị. Mọi số khác đều có.

Tìm tập xác định

Để tìm tập xác định của một hàm số hợp, ta phải biết tập xác định của mọi hàm số tạo nên nó. Không có cách nào khác. Nếu đề bài yêu cầu tìm tập xác định của hàm số f(x) = một(x) + hai(x) thì không thể làm được, vì không biết các hàm số một và hai được định nghĩa thế nào. Sau đây là tập xác định của một số hàm số sơ cấp:

• Hàm số lôgarit có D = (0; +∞).
• Hàm số căn bậc hai có D = [0; +∞).
• Hàm số tang có D = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Hàm số côtang có D = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Hàm số mũ có D = ℝ.
• Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai có D = ℝ.

Nếu chỉ cho một hàm số thì rất đơn giản. Ta xác định tập xác định của hàm số đó, nhìn vào đối số rồi lập (bất) phương trình tương ứng. Ví dụ: tìm tập xác định của hàm số log(3x + 2). Đối số của lôgarit phải dương, nên phải có 3x + 2 > 0. Đây là một bất phương trình bậc nhất, giải dễ dàng:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Tập xác định gồm mọi x thoả mãn bất phương trình này, nên D = (−2/3; +∞).

Tìm tập xác định của $\sqrt{2x+8}$.

Biểu thức dưới dấu căn không được âm, nên ta giải bất phương trình 2x + 8 ≥ 0 và được kết quả:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Vậy D = [−4; +∞).

Tìm tập xác định của 1/x².

Mẫu không được bằng 0, nên ta giải x² ≠ 0. Điều này đúng khi x ≠ 0, vậy D = ℝ ∖ {0}.

Phân tích hàm số hợp

Với hàm số hợp, tình hình phức tạp hơn một chút, vì phải xét nhiều hàm số ảnh hưởng lẫn nhau và lần lượt thu hẹp tập xác định. Xét ví dụ sau:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Ở đây phải thoả mãn hai điều kiện. Biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0, không được âm. Do đó x ≥ 0. Nhưng căn thức lại nằm ở mẫu của phân thức, nên căn không được bằng 0, nếu không phân thức sẽ không có nghĩa. Vì vậy điều kiện trên được thu hẹp thành x > 0.

Các ví dụ khác cũng làm tương tự. Điều quan trọng là xác định thứ tự các hàm số lồng nhau: phải tìm xem hàm số nào là hàm trong, hàm số nào là hàm ngoài. Ở ví dụ trên điều này rất rõ: hàm trong là căn bậc hai, hàm ngoài là phân thức. Nếu tính biểu thức này bằng tay, ta khai căn đối số x trước, rồi mới tính phân thức. Đây là một mẹo khá hữu ích: hàm trong cùng là hàm mà ta bắt đầu tính khi tính bằng tay. Ví dụ khác:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Lần này có thể làm theo chiều ngược lại: tìm các hàm ngoài. Hàm ngoài “bao” các hàm trong. Ở đây rõ ràng căn bậc năm bao tất cả các hàm còn lại. Tiếp theo, luỹ thừa bậc ba bao kết quả của lôgarit, lôgarit bao hàm tang, và cuối cùng hàm tang bao biến x. Đơn giản. Theo cách làm ở trên thì như sau: khi biết giá trị x, trước hết ta áp dụng hàm tang cho nó. Vậy đây là hàm trong cùng. Kết quả đó được đưa vào lôgarit, nên lôgarit là hàm trong thứ hai. Kết quả này lại được nâng lên luỹ thừa, và cuối cùng ta khai căn.

Phân tích hàm số hợp:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Bắt đầu từ hàm ngoài, đó là hàm sin. Tiếp theo là phân thức, rồi lôgarit, rồi hàm số mũ (hình dung phép đặt ẩn phụ 10^a) và cuối cùng là hàm số bậc nhất 2x + 3.

Phân tích hàm số hợp:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Hàm ngoài là hàm số mũ 2^a. Tiếp theo là phân thức, rồi căn bậc hai ở mẫu của phân thức và cuối cùng là hàm số bậc nhất 3x.

Tập xác định của hàm số hợp

Khi đã biết phân tích hàm số thành hàm ngoài và hàm trong, việc tìm tập xác định không còn khó nữa. Ta xét ngay một ví dụ:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Bắt đầu với phân thức. Mẫu của nó phải khác 0. Ta viết:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Theo tính chất của hàm số sin, hàm số này đạt giá trị 1 tại điểm x = π/2. Vì đây là hàm số tuần hoàn nên ta được tập hợp M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Đó là tập hợp các giá trị làm cho mẫu bằng 0. Không thể thay các giá trị x này vào hàm số.

Nhưng chưa hết, còn phải xét tập xác định của hàm số sin. May là nó bằng ℝ, nên không gây hạn chế nào. Hạn chế chỉ do mẫu của phân thức. Vậy D = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.