Các tính chất của hàm số

Hàm số là quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc tập xác định M với đúng một số y thuộc tập giá trị N. Hàm số thường viết dưới dạng y = f(x), hoặc có thể biểu diễn tường minh f:y = x, trong đó biến x là đối số của hàm số.

Tập xác định và tập giá trị

Với mỗi hàm số, ta phải xác định tập xác định của nó, tức tập hợp tất cả các giá trị cho phép của đối số x, nghĩa là mọi giá trị mà biến x có thể nhận. Tập xác định của hàm số f kí hiệu là D.

Ví dụ đơn giản: với f:y = x, tập xác định là toàn bộ tập số thực, D = ℝ. Ví dụ khác: với $f:y=\frac{1}{x}$, tập xác định là tập số thực nhưng bỏ đi số 0, vì không thể chia cho 0, khi đó biểu thức không có nghĩa: D = ℝ ∖ {0}.

Tập giá trị được định nghĩa tương tự: đó là tập hợp tất cả các giá trị y có thể có, tức tập hợp tất cả các phần tử mà hàm số f có thể nhận. Lại một ví dụ đơn giản: cho hàm số f:y = x. Tập giá trị ở đây là tập ℝ, vì y có thể nhận bất kì giá trị nào của tập này. Xét một hàm số khác, f:y = |x| (giá trị tuyệt đối). Lúc này tập giá trị là nửa khoảng [0; +∞), vì không bao giờ xảy ra chuyện y bằng, chẳng hạn, âm năm: theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì điều đó là không thể.

Nếu dùng khái niệm ánh xạ từ tập A vào tập B thì tập A là tập xác định, còn tập B là tập đích của hàm số; tập giá trị là một tập con của tập đích.

Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là tính chất cho biết trên một khoảng cho trước hàm số đồng biến, nghịch biến, không tăng, không giảm, là hàm hằng hay không thuộc loại nào trong số đó.

Tính chất này dễ đọc nhất từ đồ thị: nếu thấy đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến, nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến. Đơn giản vậy thôi :-). Định nghĩa như sau: cho hàm số f và x₁, x₂ ∈ D. Khi đó ta nói

• hàm số f đồng biến nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).
• hàm số f nghịch biến nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂). (Định nghĩa trông giống nhau, nhưng ở trường hợp thứ nhất giữa các giá trị của hàm số là dấu <, ở trường hợp thứ hai là dấu >.)

Quan sát đồ thị của hàm số đồng biến f(x) = ln(x):

Ta thấy khi chọn x₁, x₂ sao cho x₁ < x₂ thì cũng có f(x₁) < f(x₂). Bây giờ quan sát một đồ thị khác, đồ thị hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$, hàm số này nghịch biến chẳng hạn trên khoảng (0; +∞):

Ở đây ta thấy khi x₁ < x₂ thì các giá trị tương ứng của hàm số ngược lại thoả mãn f(x₁) > f(x₂). Mặc dù x₁ nhỏ hơn x₂, nó lại “cho ra” giá trị lớn hơn.

Các định nghĩa còn lại:

• Hàm số f không giảm nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂). (Định nghĩa tương tự hàm số đồng biến, chỉ khác là cho phép hàm số có giá trị không đổi trên một đoạn nào đó.)
• Hàm số f không tăng nếu x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).
• Hàm số f là hàm hằng nếu tập giá trị của nó là tập hợp một phần tử, nói cách khác nếu với hai giá trị x₁, x₂ bất kì ta có f(x₁) = f(x₂).

Ví dụ về hàm số không tăng là hàm số f(x) = |x|−x:

Để ý rằng trên khoảng (−∞; 0) hàm số nghịch biến, còn trên phần còn lại hàm số có giá trị không đổi (bằng 0). Vì vậy trên toàn bộ tập xác định, đây là hàm số không tăng.

Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Với những điều kiện nhất định, một số hàm số có thể là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Cách đơn giản nhất là nhìn đồ thị, nhờ đó nhận ra nhanh nhất. Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, còn hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ (0; 0). Ví dụ về hàm số chẵn là y = x², còn hàm số lẻ là, chẳng hạn, y = 2x. Định nghĩa như sau: hàm số f là

• hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có f(x) = f(−x),
• hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có −f(x) = f(−x).

Hàm số chẵn và hàm số lẻ được trình bày trong bài riêng Hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Hàm số đơn ánh

Có thể nhận biết hàm số đơn ánh ở chỗ mọi giá trị của nó đều khác nhau, không có giá trị nào lặp lại. Định nghĩa:

Hàm số f là đơn ánh nếu với mọi x₁, x₂ ∈ D ta có

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Nếu chọn hai giá trị x khác nhau thuộc tập xác định của hàm số thì các giá trị tương ứng của hàm số luôn phải khác nhau.

Trên đồ thị, luôn nhận ra điều này rất dễ. Mọi đường thẳng song song với trục hoành chỉ được cắt đồ thị tại nhiều nhất một điểm. Ví dụ về hàm số đơn ánh là hàm số bậc nhất y = 3x. Đường thẳng nào như vậy cũng cắt đồ thị tại đúng một điểm. Ngược lại là hàm số sin, đồ thị của nó gồm những làn sóng; nếu vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm $\frac{1}{2}$ thì sẽ có vô số giao điểm với đồ thị, nên đây không phải là hàm số đơn ánh.

Hàm số bị chặn

Hàm số có thể bị chặn trên, bị chặn dưới, hoặc vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới; khi đó ta gọi đơn giản là hàm số bị chặn. Hàm số f bị chặn trên nếu tìm được một số thực A lớn hơn mọi giá trị của hàm số f. Hàm số bị chặn dưới được định nghĩa tương tự. Định nghĩa:

• Hàm số f bị chặn trên nếu tồn tại A ∈ ℝ sao cho với mọi x ∈ D ta có A > f(x).
• Hàm số f bị chặn dưới nếu tồn tại A ∈ ℝ sao cho với mọi x ∈ D ta có A < f(x).

Về mặt hình học, có thể hình dung là ta tìm một đường thẳng song song với trục hoành (tức đường thẳng nằm ngang) nằm phía trên hoặc phía dưới toàn bộ đồ thị hàm số.

Hình trên là đồ thị hàm số f(x) = x⁴, hàm số này bị chặn dưới. Để ý rằng hoàn toàn không cần tìm số A “gần” đồ thị nhất, chỉ cần đặt đường thẳng ở đâu đó phía dưới đồ thị.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm M thuộc tập xác định nếu tại điểm M giá trị của hàm số lớn nhất trong tất cả các giá trị mà hàm số có. Giá trị nhỏ nhất được định nghĩa tương tự. Định nghĩa:

• Hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm M ∈ D nếu với mọi x ∈ D ta có f(x) ≤ f(M), nói gọn là giá trị của hàm số lớn nhất tại điểm M. Nếu chỉ có duy nhất một điểm như vậy, ta nói giá trị lớn nhất là chặt.
• Hàm số f đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm m ∈ D nếu với mọi x ∈ D ta có f(x) ≥ f(m), tức giá trị của hàm số nhỏ nhất tại điểm m.

Trên đồ thị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có lẽ khá dễ tìm: chỉ cần nhìn xem đồ thị thấp nhất hay cao nhất ở đâu. Tất nhiên hàm số có thể không có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất, hoặc chỉ có giá trị nhỏ nhất, hoặc chỉ có giá trị lớn nhất; hàm số cũng có thể chỉ có cực trị địa phương mà trên toàn bộ tập xác định không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất nào.

Nếu cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, hãy dùng đạo hàm; cách làm chi tiết được trình bày trong bài khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ

Xác định các tính chất của hàm số theo đồ thị sau:

• Tập xác định của hàm số này là đoạn [−4; 4].
• Tập giá trị là đoạn [−2; 4].
• Hàm số trông có vẻ đồng biến, nhưng trên đoạn [0; 2] hàm số có giá trị không đổi, nên không thể đồng biến. Tuy vậy, hàm số không nghịch biến trên khoảng nào, nên đây là hàm số không giảm.
• Đồ thị hàm số không đối xứng qua trục tung cũng không đối xứng qua gốc toạ độ, nên hàm số không chẵn cũng không lẻ.
• Hàm số có phải là đơn ánh không? Như đã nói, trên đoạn [0; 2] hàm số có giá trị không đổi, nên không thể là đơn ánh: với các giá trị x khác nhau, hàm số có cùng một giá trị y.
• Hàm số bị chặn, vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Ta tìm được đường thẳng nằm ngang ở phía trên toàn bộ đồ thị và đường thẳng nằm ngang ở phía dưới toàn bộ đồ thị.
• Hàm số đã cho có cả giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm m = −4, giá trị lớn nhất đạt tại điểm M = 4.