Căn bậc hai và căn bậc n

Phép khai căn là hàm số ngược một phần của phép nâng lên luỹ thừa. Thường gặp nhất là căn bậc hai: nó tìm số mà khi nhân với chính nó thì được số ban đầu, tức số nằm dưới dấu căn.

Căn bậc hai

Căn được kí hiệu bằng dấu $\sqrt{}$. Để khỏi phải viết đối số của căn trong dấu ngoặc kiểu như $\sqrt{}$(25), người ta kẻ một gạch ngang phía trên toàn bộ đối số (biểu thức cần khai căn), như sau: $\sqrt{25}$.

Lúc đầu ta chỉ xét căn bậc hai của một số thực. Có thể định nghĩa nó như sau:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Nhân căn bậc hai của số a với căn bậc hai của số a, ta được số a. Vậy với số 9, căn bậc hai bằng 3, vì 3 · 3 = 9.

Biểu thức trên cũng có thể viết như sau:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Đây chỉ là cách viết khác của phép nhân ở trên, dùng luỹ thừa.

Điều quan trọng là đẳng thức này chỉ đúng với những a thuộc tập xác định của căn bậc hai. Thật vậy, không thể khai căn một số âm. Có thể khai căn mọi số dương, có thể khai căn số 0, nhưng không thể khai căn số âm. Vì sao?

Giả sử muốn tính căn bậc hai của −25. Về cơ bản có hai khả năng chọn số: số dương hoặc số âm. Nếu chọn số dương, ta có 5 · 5 = 25. Ta được 25, nhưng ta cần −25. Thử chọn −5; nhưng sau khi nhân, ta lại được 25. Nói gọn, nhân hai số âm thì được số dương. Nhân hai số dương cũng vậy. Muốn được −25 thì phải nhân −5 · 5, mà điều đó không được: đó là nhân hai số khác nhau, dù chúng chỉ khác nhau về dấu. Vì vậy không thể tính căn bậc hai của số âm.

Căn bậc n

Giống như có thể nâng một biểu thức lên luỹ thừa bậc hai, bậc ba, bậc bốn, ta cũng có căn bậc ba, căn bậc bốn và cuối cùng là căn bậc n của một số thực. Chỉ số căn thường được viết phía trên chỗ móc của dấu căn, như sau:

$$\sqrt[5]{32}$$

Cách viết này chỉ căn bậc năm của số 32. Căn bậc n được định nghĩa qua luỹ thừa bậc n như sau:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Thay n bằng 2, ta được căn bậc hai như vừa định nghĩa ở trên. Nói gọn, cũng có thể định nghĩa như sau:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Theo quy ước, với căn bậc hai không cần viết số 2, tức hai cách viết sau là như nhau:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Chẳng hạn, với căn bậc bốn ta có:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Và một ví dụ cụ thể:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Ngược lại, 4 · 4 · 4 = 64.

Căn của số âm

Ta đã biết không tồn tại căn bậc hai của số âm, vì a², với a là số thực, không bao giờ âm. Tuy nhiên, với căn bậc cao hơn, ta không chỉ nhân hai lần, nên có thể xảy ra trường hợp căn bậc n của số âm tồn tại. Vậy thực ra thế nào?

Vấn đề là khi nhân hai số âm với nhau, ta được số dương. Để được kết quả −25, ta cần tích −5 · 5. Nhưng điều gì xảy ra khi nhân ba số âm? Nhân hai số âm đầu tiên, ta được số dương. Nhưng nhân tiếp với số âm cuối cùng, ta lại được số âm. Nếu nhân thêm một lần nữa (tổng cộng bốn lần), ta lại trở về số dương.

Từ đó rút ra: khi nhân n số âm với nhau, nếu n chẵn thì tích dương, nếu n lẻ thì tích âm. Suy ra căn bậc n của số âm tồn tại khi n lẻ. Ví dụ:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Chuyển căn thức về luỹ thừa

Căn thức dễ dàng chuyển được về luỹ thừa, và người ta thường làm vậy, vì khi đó tính toán thuận tiện hơn. Ta có hệ thức sau:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Căn bậc n của a cũng giống như nâng a lên luỹ thừa 1/n. Điều này cũng hữu ích khi cần nhập ở đâu đó một căn bậc cao hơn hai. Thường thì không nhập trực tiếp được, nhưng có thể nhập phân số vào số mũ. Muốn vẽ đồ thị hàm số căn bậc bốn, hãy cho vẽ đồ thị hàm số

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Thường dùng nhất là cách chuyển căn bậc hai:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Các công thức về căn thức

Vì căn thức dễ dàng chuyển được về luỹ thừa, các biểu thức chứa căn thừa hưởng các công thức của luỹ thừa. Do đó ta có các hệ thức sau:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Ngoài ra còn có các hệ thức cơ bản sau:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn là kĩ thuật dùng để rút gọn căn thức, dựa trên một trong các công thức ở trên:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Một số biểu thức dưới dấu căn có thể phân tích thành tích, sau đó tách thành hai căn thức và cuối cùng khai căn một trong hai căn đó. Ví dụ điển hình:

$$\sqrt{4x}$$

Theo công thức trên, biểu thức này có thể viết lại như sau:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Bây giờ có thể khai căn số 4:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Tương tự, có thể viết lại cả một số thông thường nếu muốn giữ dạng chính xác. Ví dụ:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Máy tính căn bậc n

Nếu cần tính căn của một số, có thể dùng máy tính căn bậc n 🧮.