Dãy số

Dãy số là một hàm số có tập xác định là tập các số nguyên dương ℕ^*. Dãy số có thể là dãy vô hạn, nếu tập xác định là toàn bộ tập ℕ^*, hoặc dãy hữu hạn, nếu tập xác định chỉ là một tập con hữu hạn của ℕ^*. Nếu không nói rõ là dãy hữu hạn thì ta hiểu đó là dãy vô hạn.

Định nghĩa dãy số

Mục này giải thích phần nào ý nghĩa của định nghĩa dãy số. Không nhất thiết phải nắm được nó, bạn có thể bỏ qua cả mục nếu muốn.

Phần mở đầu đã cho biết dãy số là một hàm số có tập xác định là tập các số nguyên dương. Tập giá trị có thể là một tập bất kì, nhưng ở đây ta giả sử đó là tập số thực. Điều đó có nghĩa là gì? Khác biệt dễ thấy nhất nằm ở đồ thị: đồ thị dãy số không phải là một đường liền nét như thường gặp ở các hàm số quen thuộc, mà chỉ gồm những điểm rời rạc, tách biệt nhau.

Ví dụ, dãy các số 1, 3, 5, 7, 9, 11, … là một dãy số. Dãy này được cho khá rõ ràng và ai cũng đoán được nó tiếp tục thế nào. Vì dãy số là một hàm số nên bảng tương ứng của dãy này có dạng:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Các số ở cột thứ nhất (các giá trị thuộc tập xác định) cho biết thứ tự của số tương ứng trong dãy. Chẳng hạn, trong dãy đơn giản trên, số 5 đứng ở vị trí thứ ba, đúng như bảng cho thấy. Ở vị trí thứ tư là số 7, ở vị trí thứ nhất là số 1, và cứ thế tiếp tục. Từ đó suy ra tập xác định của một dãy hữu hạn p phải là một tập có dạng

$$D=\{1;2;3;\dots ;n\},$$

để các phần tử thật sự là các số thứ tự và không vị trí nào bị bỏ sót. Chẳng hạn tập sau

$$D=\{1;2;3;5;7\}$$

không thể là tập xác định của một dãy số, vì nó thiếu phần tử thứ tư và thứ sáu.

Như vậy, các phần tử của dãy số được sắp theo một thứ tự: mỗi số hạng, trừ số hạng đầu và số hạng cuối, đều có số hạng đứng trước và số hạng đứng sau. Đây là khác biệt rất lớn so với các hàm số thực, nơi không có điều gì như vậy. Xét hàm số f(x) = 2x: giá trị nào đứng sau f(5/2)? Ta không biết, vì kết quả là một số thực, mà số thực thì không có “số liền sau”.

Cách cho một dãy số

Ta đã biết rằng, nói đơn giản, dãy số là một dãy các số được đánh số thứ tự. Bây giờ ta xem có thể cho một dãy số bằng những cách nào. Dãy số thường kí hiệu bằng một chữ cái thường có chỉ số dưới, chẳng hạn u_i.

Cách thứ nhất là liệt kê tất cả các số hạng của dãy. Ta đã gặp cách này ở mục trước. Dãy liệt kê có thể hữu hạn hoặc vô hạn:

$$\begin{array}{rcl}{u}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ u_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Ghi chú: tôi không chắc thường dùng loại dấu ngoặc nào cho dãy số, tôi không tìm thấy quy ước thống nhất. Có lẽ không nên dùng dấu ngoặc nhọn, vì dấu ngoặc nhọn dùng cho tập hợp, trong đó thứ tự không quan trọng, còn ở dãy số thì thứ tự các số hạng là quan trọng.

Cách thứ hai là cho công thức của số hạng tổng quát (số hạng thứ n). Chẳng hạn dãy u_n ở trên gồm tất cả các số chẵn dương. Ta có thể biểu diễn nó bằng công thức

$$u_n=2n.$$

Chỉ số dưới n cho biết ta đang tính số hạng thứ mấy của dãy. Muốn biết số hạng thứ nhất thì ta cần tìm u₁, muốn biết số hạng thứ bảy thì cần tìm u₇. Số hạng thứ bảy tính được bằng cách thay vào công thức:

$$u_7=2\cdot 7=14$$

Cách cho này rất tiện, vì nó cho phép tính ngay bất kì số hạng nào của dãy. Một cách khác là cho dãy số bằng hệ thức truy hồi. Hệ thức truy hồi cho phép tính số hạng tiếp theo khi biết số hạng hiện tại. Nói cách khác, nếu biết số hạng u_n thì ta tính được số hạng u_{n + 1}.

Muốn cho một dãy số bằng hệ thức truy hồi, ta phải nêu hai thông tin: số hạng đầu bằng bao nhiêu và công thức tính số hạng thứ n + 1. Chẳng hạn dãy các số tự nhiên chẵn khác 0 có thể cho bằng hệ thức truy hồi như sau:

$$u_1=2;u_{n+1}=u_n+2$$

Khi đó tính thế nào? Ta biết u₁ bằng 2. Thay n = 1 thì u₂ bằng u₁ cộng thêm 2. Ta được 4, số chẵn thứ hai. Và cứ thế tiếp tục.

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 2\\ u_2& =& u_1+2(=4)\\ u_3& =& u_2+2(=6)\\ u_4& =& u_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Cách cho bằng hệ thức truy hồi phù hợp khi ta cần sinh ra một đoạn dài của dãy. Ngược lại, nó không phù hợp khi muốn tính một số hạng cụ thể: muốn tính số chẵn thứ 100, trước hết phải tính tất cả 99 số chẵn đứng trước nó.

Cách cuối cùng là cho dãy số bằng đồ thị.

Để rõ thêm: dãy số không nhất thiết phải có một công thức đơn giản, không nhất thiết phải là một dãy số “có quy luật”. Dãy sau đây cũng là một dãy số, dù thoạt nhìn chẳng có ý nghĩa gì sâu xa:

$$u_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Đồ thị của dãy số

Đồ thị của dãy số khác với đồ thị của các hàm số thực thông thường. Vì tập xác định là tập các số nguyên dương nên đồ thị gồm những điểm rời rạc.

Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số đơn giản, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi. Chẳng hạn mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước 3 đơn vị, hoặc nhỏ hơn 17 đơn vị. Hiệu không đổi đó gọi là công sai (kí hiệu d). Trong trường hợp thứ nhất công sai bằng 3, trong trường hợp thứ hai bằng −17, còn với dãy các số chẵn thì công sai bằng 2. Bằng công thức, cấp số cộng có thể viết như sau:

$$u_{n+1}=u_n+d$$

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là

$$u_n=u_1+(n-1)d.$$

Lấy lại ví dụ các số chẵn, có công sai bằng 2 và số chẵn đầu tiên cũng là 2. Số chẵn thứ hai có được bằng cách cộng 2 vào số thứ nhất. Cộng thêm 2 một lần nữa, ta được số chẵn thứ ba.

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 2\\ u_2& =& u_1+2(=4)\\ u_3& =& u_2+2(=6)\\ u_4& =& u_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Muốn tính, chẳng hạn, số chẵn thứ bảy, ta thay vào công thức tổng quát:

$$u_n=u_1+(n-1)d\to u_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Làm sao biết một dãy số có phải là cấp số cộng hay không? Lấy công thức của số hạng thứ n + 1 trừ đi công thức của số hạng thứ n; nếu kết quả là một hằng số (công sai) thì dãy là cấp số cộng. Chẳng hạn, xét dãy số

$$u_n=2n+7.$$

Dãy này có phải là cấp số cộng không? Trước hết ta viết số hạng thứ n + 1:

$$u_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Bây giờ lấy hai biểu thức trừ cho nhau:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Sau phép trừ ta được d = 2, vậy dãy là cấp số cộng với công sai bằng 2.

Tổng các số hạng của cấp số cộng

Ta thường cần tính tổng của một số số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Làm thế nào? Theo trực giác, có thể làm như sau. Ta vẫn dùng các số chẵn. Tổng của ba số chẵn đầu tiên, tức là các số 2, 4 và 6, bằng bao nhiêu? Tất nhiên có thể cộng lần lượt, nhưng ta không muốn thế, ta muốn có công thức.

Ta biến đổi dãy như sau: cộng 2 vào số hạng đầu và trừ 2 ở số hạng cuối. Ta được 4, 4, 4. Có ba số bằng nhau, nên chỉ cần nhân 4 với số số hạng, tức là với 3: 4 · 3 = 12.

Với 5 số hạng 2, 4, 6, 8, 10, ta làm như sau: cộng và trừ 4 ở hai số hạng ngoài cùng, cộng và trừ 2 ở hai số hạng kế tiếp.

$$\begin{array}{rcl}{u}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ u_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Một lần nữa chỉ cần nhân 6 · 5 = 30. Ta thấy gì? Ta luôn nhân số số hạng với số hạng ở giữa. Trong dãy 2, 4, 6, số ở giữa là 4, còn trong dãy 2, 4, 6, 8, 10, số ở giữa là 6. Tính số hạng ở giữa (kí hiệu p) trong trường hợp tổng quát thế nào? Đó là trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối:

$$p=\frac{u_1+u_n}{2}$$

Chẳng hạn với dãy thứ hai:

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng u_n là:

$$S_n=n\cdot \frac{u_1+u_n}{2}$$

Công thức này cũng đúng khi số số hạng là chẵn, dù khi suy ra công thức ta chỉ dùng số số hạng lẻ.

Cách tính công sai

Tính công sai thế nào khi biết hai số hạng của dãy? Ta vẫn dùng các số chẵn. Giả sử biết hai số hạng

$$u_3=6,u_7=14.$$

Tính công sai thế nào? Trước hết tính hiệu của hai số hạng này:

$$u_7-u_3=14-6=8$$

Sau đó chỉ cần chia kết quả cho số bước giữa hai số hạng đã biết, tức là hiệu hai chỉ số của chúng:

$$\frac{u_7-u_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Công sai bằng 2. Công thức tính công sai d khi biết hai số hạng u_k và u_l là:

$$d=\frac{u_l-u_k}{l-k}$$

Đồ thị của cấp số cộng tăng đều hoặc giảm đều: các điểm rời rạc của đồ thị nằm trên một đường thẳng.

Cấp số nhân

Cấp số nhân khác cấp số cộng ở chỗ hai số hạng liên tiếp không có cùng hiệu mà có cùng thương. Thương này không gọi là công sai như ở cấp số cộng mà gọi là công bội (kí hiệu q). Chẳng hạn ta có thể có dãy với q = 10 và số hạng đầu bằng 5:

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 5\\ u_2& =& u_1\cdot 10(=50)\\ u_3& =& u_2\cdot 10(=500)\\ u_4& =& u_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Tổng quát, ta có công thức:

$$u_{n+1}=u_n\cdot q$$

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

$$u_n=u_1\cdot q^{n-1}$$

Chẳng hạn số hạng thứ ba của dãy trên tính như sau:

$$\begin{array}{rcl}{u}_3& =& u_1\cdot q^{3-1}\\ u_3& =& 5\cdot q^2\\ u_3& =& 5\cdot {10}^2\\ u_3& =& 500\end{array}$$

Cấp số nhân còn có thể chia thành hai nhóm tuỳ theo công bội. Nếu giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1 thì các số hạng của dãy dần tới 0; dãy như vậy hội tụ và gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Ngược lại, nếu giá trị tuyệt đối của công bội lớn hơn 1 hoặc công bội bằng −1 (và u₁ ≠ 0) thì dãy không dần tới 0 và là dãy phân kì; khi q = 1 dãy là dãy hằng. Với cấp số nhân lùi vô hạn có một công thức đơn giản tính tổng của tất cả các số hạng (chỉ dùng được khi |q| < 1, vì trong các trường hợp còn lại tổng không hữu hạn, trừ khi u₁ = 0):

$$S_a=\frac{u_1}{1-q}.$$

Công thức tính tổng i số hạng đầu của cấp số nhân u_n (với q ≠ 1):

$$S_i=u_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Cách chứng minh công thức có thể đọc trên Wikipedia.

Đồ thị của cấp số nhân, trừ trường hợp công bội bằng 1 hoặc bằng 0, là một tập các điểm rời rạc không nằm trên cùng một đường thẳng. Đồ thị điển hình của cấp số nhân có dạng như sau:

Nếu công bội âm thì đồ thị có hai nhánh: