Các phép toán với vectơ

Với vectơ, ta có thể thực hiện các phép toán cơ bản như phép cộng hay phép nhân.

Phép cộng vectơ

Muốn cộng hai vectơ, ta vẽ chúng xuất phát từ gốc toạ độ rồi dựng hình bình hành; đường chéo xuất phát từ gốc toạ độ là vectơ tổng. Hình minh hoạ:

Về mặt toạ độ, tổng của hai vectơ có toạ độ bằng tổng các toạ độ tương ứng. Như vậy, nếu có hai vectơ $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$ thì tổng $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ bằng

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2)$$

Với hai vectơ trên hình, ta có $\overrightarrow{u}=(2;4)$ và $\overrightarrow{v}=(4;1)$. Khi đó tổng là $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4;4+1)=(6;5)$. Đây chính là toạ độ của điểm D.

Trừ một vectơ cũng chính là cộng với vectơ đối của nó. Theo toạ độ:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2)$$

Nếu cộng hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng và cùng hướng thì vectơ tổng chỉ dài thêm ra. Nếu chúng ngược hướng thì ta lấy hiệu độ dài của chúng. Hình vẽ sẽ cho thấy rõ hơn:

Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán và tính chất kết hợp. Tồn tại vectơ $\overrightarrow{0}$, gọi là vectơ-không, thoả mãn $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$, tương tự như với các số. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ đều có vectơ đối $-\overrightarrow{u}$ thoả mãn $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$.

Tích của vectơ với một số

Khi nhân một vectơ với số thực k, ta chỉ cần nhân cả hai toạ độ của nó với k. Về mặt hình học, vectơ được “kéo dài” hoặc “thu ngắn”, và đổi hướng nếu k âm.

Theo hình vẽ, khi nhân vectơ u với số k thì:

• Nếu giá trị tuyệt đối của k nhỏ hơn 1 thì vectơ ngắn đi.
• Nếu giá trị tuyệt đối của k lớn hơn 1 thì vectơ dài ra.
• Nếu k âm thì vectơ đổi sang hướng ngược lại.

Tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Trong đại số tuyến tính, ta thường dùng tổ hợp tuyến tính của các vectơ. Với các vectơ ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$, tổ hợp tuyến tính của chúng là

• tích của một trong các vectơ ${\overrightarrow{u}}_n$ với số k,
• tổng của hai hay nhiều vectơ bất kì,
• kết hợp của hai cách trên: có thể cộng các tích của số k_n với các vectơ ${\overrightarrow{u}}_n$ bất kì.

Cho các vectơ ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$. Vectơ $\overrightarrow{v}$ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ${\overrightarrow{u}}_n$ nếu:

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Lưu ý rằng các hệ số c_i là số thực, nên có thể chọn hệ số bằng 0, khi đó một vectơ bị loại hẳn khỏi tổng. Ví dụ: cho các vectơ ${\overrightarrow{u}}_1=(1;3),{\overrightarrow{u}}_2=(0;4),{\overrightarrow{u}}_3=(7;2)$. Sau đây là một vài tổ hợp tuyến tính có thể có:

$$\begin{array}{rcl}(8;9)& =& 1\cdot (1;3)+1\cdot (0;4)+1\cdot (7;2)\\ (22;17)& =& 1\cdot (1;3)+2(0;4)+3(7;2)\\ (68;38)& =& -2(1;3)+6(0;4)+10(7;2)\\ (-\frac{1}{2};-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1;3)-5(0;4)+0(7;2)\end{array}$$