Trung bình nhân

Giả sử bạn muốn mua một chiếc ô tô thể thao mới. Bạn đã ngắm chiếc xe từ lâu, và năm nào cũng ghi lại xem giá xe tăng bao nhiêu so với năm trước. Năm đầu tiên xe có giá 1 tỉ đồng, sang năm thứ hai giá tăng 25%, năm sau tăng 5%, năm thứ tư tăng 10%, và bây giờ, năm thứ năm, giá tăng 20%. Ta tính được giá xe hiện nay bằng cách đổi phần trăm thành số lần của giá, tức là “tăng 25%” viết thành “giá cũ nhân 1,25”. Tính bằng triệu đồng, giá hiện nay của chiếc xe là

$$1000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1732,5$$

Sau 5 năm, giá xe là 1732,5 triệu đồng. Bây giờ ta có thể hỏi: trung bình mỗi năm giá xe tăng bao nhiêu? Năm đầu giá xe tăng gấp 1,25 lần, năm thứ hai gấp 1,05 lần, v.v. Mức tăng trung bình là bao nhiêu? Nếu dùng trung bình cộng thông thường thì kết quả vô lí. Trung bình cộng của các giá trị 1,25; 1,05; 1,1 và 1,2 là

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Ta thử tính giá xe nếu 4 năm liền giá tăng gấp 1,15 lần:

$$1000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=\mathrm{1749,006}25$$

Kết quả ra một số khác! Nghĩa là 1,15 (tức 15%) không phải câu trả lời đúng, đó không phải mức tăng giá trung bình hằng năm. Vậy trung bình cộng không trả lời được câu hỏi này. Ta phải dùng trung bình nhân.

Cách tính trung bình nhân

Sau mấy năm đó, giá xe tăng bao nhiêu phần trăm? Ta tính bằng cách nhân tất cả các hệ số tăng giá với nhau:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Vậy sau 4 năm, giá xe tăng gấp 1,7325 lần. Câu hỏi bây giờ thực chất là: luỹ thừa bậc bốn của số nào bằng 1,7325? Đó là căn bậc bốn của 1,7325. Ta thử:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Bây giờ nhân giá xe với số này 4 lần:

$$1000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1732,5$$

Lần này kết quả khớp, vậy số $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ đúng là mức tăng giá trung bình hằng năm của chiếc xe.

Công thức trung bình nhân

Cho n số x₁, x₂, …, x_n. Trung bình nhân G của chúng tính theo công thức

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Cũng có thể viết tương đương như sau:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Ví dụ, trung bình nhân của các số 1, 2, 3, 4, 5 là

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$