Trung vị

Nói đơn giản, trung vị chia mẫu số liệu sao cho một nửa số giá trị nhỏ hơn trung vị và nửa còn lại lớn hơn trung vị. Thực tế phức tạp hơn một chút, ta sẽ xem ngay sau đây.

Trung vị là gì

Khi tìm trung vị, cần xét số phần tử của tổng thể là chẵn hay lẻ. Khi số phần tử là lẻ, ta sắp xếp tất cả các giá trị theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, giá trị nằm chính giữa là trung vị.

Lấy ví dụ mẫu số liệu 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Mẫu có 7 số, 7 là số lẻ. Sắp xếp các số, ta được dãy 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Trung vị, kí hiệu M_e, là phần tử nằm chính giữa, tức là số 3. Công thức tổng quát cho tổng thể X có |X| = N phần tử x_i đã sắp xếp từ nhỏ đến lớn là:

$$M_e(X)=x_{(N+1)/2}$$

Áp dụng cho mẫu số liệu X = [1; 2; 2; 3; 4; 5; 75], ta được:

$$M_e(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Khi số phần tử là chẵn, ta phải sửa lại một chút, vì dãy có số giá trị chẵn không có “phần tử chính giữa”. Bỏ đi một số 2 khỏi tổng thể, ta được tổng thể Y = [1; 2; 3; 4; 5; 75]; tổng thể này không có phần tử nào nằm chính giữa. Cả hai số 3 và 4 đều “ở giữa như nhau”. Trong trường hợp này, ta lấy cả hai phần tử ở giữa và trung vị là trung bình cộng của chúng. Vậy trung vị của Y là (3 + 4)/2 = 3,5.

Công thức tổng quát cho mẫu X có N phần tử x_i đã sắp xếp như sau:

$$M_e(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Tính trung vị của Y = [1; 2; 3; 4; 5; 75] theo cách này, với các phần tử kí hiệu là y_i, ta được:

$$M_e(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Ưu điểm của trung vị

Khác với số trung bình, trung vị không bị ảnh hưởng khi trong mẫu số liệu có những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ. Với mẫu X = [1; 2; 2; 3; 4; 5; 75] ở ví dụ trên, số trung bình là 92 / 7 ≈ 13,1429, một giá trị khá lạ khi 6 trong 7 phần tử nhỏ hơn nhiều. Còn trung vị là số 3, một con số hợp lí.

Trung vị còn dùng được cho mọi giá trị có thể sắp thứ tự. Số trung bình chỉ tính được cho những giá trị cộng được với nhau rồi chia được. Lấy ví dụ cỡ quần áo: thường có dãy dạng XS, S, M, L, XL, XXL. Khó mà tính trung bình của các giá trị như vậy, vì không rõ cộng XS + L hay XL + L thế nào, cũng không rõ cuối cùng chia ra sao. Tuy nhiên, nếu một nhóm người đã mua quần áo cỡ S, S, M, L, L, L, XXL thì có thể nói trung vị là cỡ L. Vấn đề nảy sinh khi số cỡ là chẵn, vì khi đó không thể lấy trung bình cộng. Trong trường hợp này, ta thường chỉ chọn một trong hai giá trị ở giữa làm trung vị.