Định lí Pythagore

Định lí Pythagore có lẽ là định lí toán học nổi tiếng nhất. Về bản thân Pythagoras xứ Samos có thể đọc ở chỗ khác. Còn bây giờ ta bắt tay vào các tam giác.

Diện tích hình vuông dựng trên cạnh tam giác

Định lí Pythagore cho ta một hệ thức hữu ích giữa diện tích các hình vuông dựng trên các cạnh của tam giác vuông. Giả sử có tam giác vuông sau:

Lưới ô vuông ở phía sau cho biết kích thước của tam giác. Cạnh góc vuông AC dài 4 và cạnh góc vuông BC dài 3. Nhưng cạnh AB, tức cạnh huyền của tam giác, dài bao nhiêu? Thoạt nhìn thì không biết được. Nhưng có thể thử tính ra.

Trước hết dựng hình vuông trên cạnh góc vuông BC. Nghĩa là dựng một hình vuông có tất cả các cạnh dài bằng cạnh BC, tức là bằng 3. Trên hình, ta vẽ như sau:

Ta được hình vuông BCDE có tất cả các cạnh dài 3. Diện tích của hình vuông này bằng bao nhiêu? Diện tích hình vuông bằng tích độ dài hai cạnh, nên diện tích hình vuông BCDE bằng 3 · 3 = 9. Vẽ thêm hình vuông dựng trên cạnh góc vuông còn lại, cạnh AC. Hình vuông này có cạnh dài 4.

Hình vuông này có diện tích 4 · 4 = 16. Bây giờ vẽ hình vuông cuối cùng, dựng trên cạnh huyền AB:

Diện tích của hình vuông mới này thì chưa biết, vì chưa biết độ dài cạnh AB. Nhưng bây giờ có thể dùng định lí Pythagore. Định lí nói rằng diện tích hình vuông cuối cùng ABHI bằng tổng diện tích hai hình vuông trước. Hai hình vuông đầu có diện tích 9 và 16, nên theo định lí Pythagore, hình vuông cuối có diện tích 9 + 16 = 25. Vẽ vào hình:

Còn lại câu hỏi cuối cùng: nếu hình vuông ABHI có diện tích 25 thì cạnh của nó dài bao nhiêu? Đó phải là căn bậc hai của 25, nên cạnh AB dài $\sqrt{25}=5$. Kiểm tra lại: hình vuông cạnh 5 có diện tích 5 · 5 = 25. Bây giờ chuyển sang các con số và định nghĩa.

Phát biểu định lí

Định lí Pythagore được phát biểu như sau: “Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông”. Định lí này thường được viết dưới dạng công thức như sau

$$c^2=a^2+b^2,$$

trong đó a và b là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác, còn c là độ dài cạnh huyền.

Vậy định lí Pythagore nói gì và công thức này liên quan thế nào với hình vẽ ở trên? Diện tích hình vuông dựng trên một cạnh của tam giác nghĩa là lấy hình vuông có cạnh dài bằng cạnh đó của tam giác rồi tính diện tích của nó. Diện tích hình vuông bằng độ dài cạnh nhân với độ dài cạnh, nên nếu cạnh dài c thì diện tích S bằng: S = c · c, viết bằng luỹ thừa là S = c².

Như vậy công thức c² = a² + b² có thể đọc là “diện tích hình vuông cạnh c bằng tổng diện tích các hình vuông cạnh a và b”.

Một lần nữa xin nhấn mạnh rằng định lí chỉ đúng trong tam giác vuông, không đúng với tam giác bất kì. Định lí Pythagore thường được dùng khi biết độ dài hai cạnh và cần tính độ dài cạnh còn lại. Nếu biết độ dài hai cạnh góc vuông a và b và cần tìm độ dài cạnh huyền c, ta tính diện tích các hình vuông trên hai cạnh góc vuông, tức là tính a² + b². Kết quả là diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền c, tức là c². Để được độ dài cạnh c, chỉ cần lấy căn bậc hai của diện tích vừa tính. Ta được công thức:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

trong đó c là độ dài cạnh huyền và a, b là độ dài hai cạnh góc vuông. Ngược lại, nếu biết độ dài cạnh huyền và một cạnh góc vuông và cần tính cạnh góc vuông còn lại, cách tính cũng vậy, chỉ cần trước hết biểu diễn cạnh góc vuông đó từ phương trình. Như vậy nếu biết c và b và cần tính a thì trong phương trình

$$c^2=a^2+b^2,$$

ta rút a² bằng cách trừ hai vế cho b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

đổi chỗ hai vế:

$$a^2=c^2-b^2$$

và cuối cùng khai căn:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Ví dụ thứ nhất

Cho tam giác vuông ABC có độ dài hai cạnh a = 3 và b = 4. Đây chính là tam giác ở đầu bài. Cạnh còn lại, cạnh c, dài bao nhiêu? Ta thử tính bằng công thức ở trên. Tam giác được vẽ ở hình sau:

Ta biết độ dài hai cạnh góc vuông và cần tìm độ dài cạnh huyền. Vì vậy dùng công thức thứ nhất, chưa biến đổi:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Thay độ dài các cạnh vào a và b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Trong công thức có bình phương – nhắc lại:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Sau khi tính các bình phương, ta được:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Vậy cạnh c dài 5.

Ví dụ thứ hai

Trong ví dụ này ta tính độ dài một cạnh góc vuông khi biết cạnh góc vuông kia và độ dài cạnh huyền. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC = 10 và BC = 6. Tam giác được vẽ ở hình sau:

Trên hình ta thấy cạnh huyền, tức cạnh dài nhất, là cạnh AC. Cần tính độ dài cạnh AB. Ta dùng công thức thứ hai, công thức tính cạnh góc vuông:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Để áp dụng định lí Pythagore cho đúng, cần xác định rõ mỗi chữ cái chỉ gì. Trong công thức này, a là độ dài cạnh cần tính, ở đây là cạnh AB. Chữ c là độ dài cạnh huyền, cạnh dài nhất, ở đây là cạnh AC. Còn b là độ dài cạnh góc vuông đã biết, ở đây là BC. Do đó thay vào công thức như sau:

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}$$

Thay độ dài các cạnh đã biết:

$$AB=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Tính các luỹ thừa rồi trừ:

$$AB=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Cuối cùng khai căn:

$$AB=8$$

Cạnh AB dài 8.

Bài toán thực tế

Mai đi đến nhà bạn Lan theo một con đường thẳng. Con đường dài 250 mét. Sau đoạn đường một phần tư ki-lô-mét này, Mai rẽ trái, đi thêm 100 mét nữa thì đến nhà Lan. Hỏi nếu đi thẳng qua cánh đồng thì đường đi ngắn hơn bao nhiêu?

Trước hết tính quãng đường khi đi theo đường bộ. Mai đi thẳng 250 mét rồi rẽ trái đi 100 mét. Tổng cộng là 250 + 100 = 350 mét. Tiếp theo là tính quãng đường đi qua cánh đồng. Để làm việc này cần một hình vẽ.

Mỗi ô trên hình ứng với 50 mét. Đường đi thẳng qua cánh đồng sẽ như thế nào? Đó là đoạn thẳng từ điểm A đến điểm C. Ta vẽ đoạn thẳng này màu đỏ.

Bây giờ thấy rõ để tính quãng đường qua cánh đồng, chỉ cần áp dụng định lí Pythagore. Cần tìm độ dài cạnh huyền và đã biết độ dài hai cạnh góc vuông, nên dùng công thức thứ nhất:

$$AC=\sqrt{A{B}^2+C{B}^2}$$

Thay độ dài:

$$AC=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Tính các bình phương:

$$AC=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Khai căn và làm tròn:

$$AC=269$$

Quãng đường qua cánh đồng dài 269 mét. Bài toán chưa kết thúc, vì câu hỏi là đường qua cánh đồng ngắn hơn bao nhiêu. Lấy hai quãng đường trừ cho nhau, gọi hiệu là r:

$$r=350-269=81$$

Vậy đường đi ngắn hơn khoảng 81 mét.

Độ dài cạnh hình vuông

Hình vuông có đường chéo dài 10 thì cạnh dài bao nhiêu? Định lí Pythagore giúp gì ở đây? Cần tìm trong hình vuông một tam giác vuông để dùng tính độ dài cạnh. Nhắc lại: hình vuông có bốn cạnh bằng nhau. Vẽ hình:

Ta thấy trong hình vuông xuất hiện ngay hai tam giác có góc vuông, có thể dùng để tính độ dài cạnh. Lấy chẳng hạn tam giác BCD. Cạnh DB là cạnh huyền, hai cạnh còn lại là cạnh góc vuông. Độ dài hai cạnh góc vuông chưa biết, nhưng độ dài cạnh huyền đã biết. Hai cạnh góc vuông dài bằng nhau, tức là BC = CD. Áp dụng định lí Pythagore:

$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2$$

Vì hai cạnh góc vuông bằng nhau nên chỉ cần tính bình phương của một cạnh rồi nhân với 2 – không cần tính bình phương của cả hai cạnh, vì chúng bằng nhau và cho cùng một kết quả. Do đó có thể viết:

$$B{D}^2=2\left(B{C}^2\right)$$

Đã biết độ dài cạnh BD, đó là cạnh huyền, dài 10. Thay vào phương trình:

$${10}^2=2\left(B{C}^2\right)$$

Tính bình phương của 10:

$$100=2\left(B{C}^2\right)$$

Chia hai vế cho 2:

$$\frac{100}{2}=B{C}^2$$

Rút gọn phân số:

$$50=B{C}^2$$

Đã gần xong. Ta biết bình phương độ dài cạnh hình vuông bằng 50. Để tìm độ dài cạnh, còn phải khai căn hai vế, điều này được phép vì ta làm việc với các số dương:

$$\sqrt{50}=\sqrt{B{C}^2}$$

Căn bậc hai của 50 giữ nguyên ở dạng này, còn ở vế phải, căn bậc hai và bình phương triệt tiêu nhau.

$$\sqrt{50}=BC$$

Nếu muốn, có thể tính cả căn bậc hai của 50. Làm tròn, ta được 7:

$$7=BC$$

Vậy cạnh hình vuông dài xấp xỉ 7, chính xác là căn bậc hai của 50.

Máy tính

Có thể tính cạnh huyền từ hai cạnh góc vuông, hoặc tính một cạnh góc vuông từ cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại. Đơn vị của từng ô có thể đổi.