Đường tròn

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một điểm cho trước, gọi là tâm của đường tròn, một khoảng không đổi. Đường tròn cũng được xếp vào các đường conic.

Mô tả đường tròn

Hãy xem hình vẽ đường tròn:

Đường tròn thường được kí hiệu bằng chữ in thường k hoặc l.

• Mỗi đường tròn có một tâm, kí hiệu là O.
• Mọi điểm của đường tròn cách tâm O một khoảng bằng nhau, khoảng cách này gọi là bán kính của đường tròn và kí hiệu là r. Trên hình là đoạn thẳng AO.
• Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt của đường tròn gọi là dây cung. Trên hình là đoạn thẳng FG.
• Dây cung đi qua tâm O gọi là đường kính của đường tròn và kí hiệu là d. Ta có 2r = d.

Ngoài ra còn có miền trong và miền ngoài của đường tròn. Miền trong là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách đến tâm nhỏ hơn bán kính. Miền ngoài gồm tất cả các điểm có khoảng cách đến tâm lớn hơn bán kính. Hợp của đường tròn và miền trong của nó là hình tròn.

Độ dài đường tròn và diện tích hình tròn

Đường kính và độ dài đường tròn có quan hệ gì với nhau? Độ dài đường tròn gấp bao nhiêu lần đường kính? Nếu lấy một hình tròn, đo đường kính rồi đo chu vi của nó, ta thấy chu vi gấp khoảng 3 lần. Chính xác hơn là 3,1415 lần, và chính xác hơn nữa là π lần.

Số π (đọc là pi) là một số vô tỉ, tức là số có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn. Vì vậy nếu đường kính của đường tròn là một số nguyên thì không bao giờ tính được độ dài đường tròn hoàn toàn chính xác. Tuy nhiên trong thực tế chỉ cần biết một giá trị gần đúng là đủ.

Công thức tính độ dài đường tròn như sau:

$$C=\pi d=2\pi r$$

Công thức tính diện tích hình tròn:

$$S=\pi r^2$$

Vị trí tương đối của hai đường tròn

• Hai đường tròn đồng tâm có chung tâm O. Hai đường tròn không đồng tâm là hai đường tròn không có chung tâm. Đoạn thẳng nối hai tâm của chúng gọi là đoạn nối tâm.

• Đường tròn k₁ nằm ở miền ngoài của k₂, hai đường tròn không có điểm chung.

• Đường tròn k₁ nằm ở miền ngoài của k₂, nhưng hai đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm.

• Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

• Đường tròn k₁ nằm ở miền trong của k₂ và hai đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm.

• Đường tròn k₁ nằm ở miền trong của k₂.

Cung tròn

Mỗi dây cung có hai đầu mút A và B chia đường tròn thành hai phần gọi là cung. Mỗi điểm của đường tròn, trừ hai điểm A và B, là điểm trong của một trong hai cung. Cung được kí hiệu, chẳng hạn, là AXB, trong đó X là một điểm trong của cung.

Nếu dây cung đồng thời là đường kính thì nó chia đường tròn thành hai cung bằng nhau, gọi là hai nửa đường tròn. Trong trường hợp ngược lại, đường tròn luôn bị chia thành hai cung có độ dài khác nhau.

Góc ở tâm

Cho đường tròn k tâm O và cung AB. Khi đó góc AOB gọi là góc ở tâm chắn cung AB. Góc ở tâm chắn cung nhỏ là góc lồi (nhỏ hơn 180°), góc ở tâm chắn cung lớn là góc không lồi (lớn hơn 180°).

Đường tròn trên hình có hai cung AB. Cung lớn ứng với góc α, cung nhỏ ứng với góc β.

Góc nội tiếp

Cho đường tròn k tâm O và cung AB. Lấy một điểm V nằm trên đường tròn nhưng không thuộc cung này. Khi đó góc AVB gọi là góc nội tiếp.

Trên hình có hai góc nội tiếp AV₁B và AV₂B. Hãy để ý rằng hai góc này có số đo bằng nhau – 60° – và bằng một nửa góc ở tâm – 120°.