Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình một ẩn, trong đó ẩn có bình phương. Nếu phương trình chứa ẩn với số mũ lớn hơn 2 thì đó không còn là phương trình bậc hai.

Mô tả phương trình bậc hai

Dạng tổng quát của phương trình bậc hai như sau:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Các giá trị a, b, c là các số thực, trong đó a khác 0. Các tên gọi khác:

• ax² gọi là hạng tử bậc hai,
• bx gọi là hạng tử bậc nhất,
• c gọi là hệ số tự do.

Mọi phương trình bậc hai đều có thể đưa về dạng tổng quát bằng các phép biến đổi tương đương hoặc các phép biến đổi khác. Một ví dụ về phương trình bậc hai là phương trình sau:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Câu hỏi khó hơn là phương trình sau có phải là phương trình bậc hai không:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Không thấy x² ở đâu, và vế phải không bằng 0. Vế phải dễ xử lí: trừ hai vế cho 7, ta được

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Vẫn chưa có x². Nhân phá ngoặc, ta được:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Bây giờ đã có x². Thu gọn, cuối cùng ta được dạng tổng quát của phương trình bậc hai:

$$x^2+3x-5=0.$$

Còn ví dụ sau thì sao, có phải phương trình bậc hai không? Có đưa được về dạng tổng quát không?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Câu trả lời là không. Nếu nhân hai vế với biến x để khử biến ở mẫu, ta được:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Bây giờ đã có x³, điều không thể có trong phương trình bậc hai.

Có một số dạng đặc biệt của phương trình bậc hai, tuỳ theo giá trị của các hệ số a, b và c.

Giá trị các hệ số

Để học các mục tiếp theo, điều rất quan trọng là phải xác định được từng hệ số a, b và c. Bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản. Xác định các hệ số của phương trình 3x² + 4x + 7 = 0. Ở đây rất đơn giản: a = 3, b = 4 và c = 7.

Còn phương trình 3x² − x + 2 = 0 thì sao? Các giá trị a và c đã rõ, a = 3 và c = 2, nhưng còn b? Sẽ sai nếu viết b = 1. Hãy hình dung trước x có số 1 như sau: 3x² − 1x + 2 = 0. Bây giờ thấy rõ hơn rằng b = −1.

Một ví dụ thú vị khác: x² − 3 = 0. Ở đây lại có thể vướng ở hệ số b, các hệ số còn lại đã rõ: a = 1 và c = −3. Hệ số b bằng bao nhiêu? Phương trình này không có hạng tử bậc nhất, giống như ta viết phương trình dưới dạng x² + 0x − 3 = 0. Vậy b = 0.

Một ví dụ phức tạp hơn:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

Phương trình này có hai chỗ dễ nhầm. Không có hệ số tự do, nên c = 0. Hạng tử bậc hai thì rõ, nên a = 5. Nhưng còn b đáng ghét thì sao? Có thể biến đổi phương trình thêm một chút: đặt nhân tử chung x của hai hạng tử như sau:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Hệ số b vẫn là phần đứng “trước” biến x, nên cả biểu thức trong ngoặc là hệ số b = (3 + π). Một phương trình tương tự:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Hai hệ số đầu đã rõ: a = −1 và b = 4. Hệ số tự do là gì? Đó là các hạng tử còn lại không chứa x. Vậy $c=1-\sqrt{2}$. Đừng ngại căn thức, nó không cắn đâu, đó chỉ là một số bình thường.

Còn các hệ số của phương trình sau là gì? (x + 1)(x + 2) = −2x. Trước hết phải đưa phương trình về dạng tổng quát. Nhân phá ngoặc, ta được

$$x^2+3x+2=-2x$$

và cuối cùng cộng 2x vào hai vế để vế phải bằng 0:

$$x^2+5x+2=0.$$

Các hệ số đã rõ: a = 1, b = 5, c = 2.

Phương trình bậc hai khuyết b

Nếu b = 0, ta có phương trình bậc hai khuyết b, giải tương tự như phương trình bậc nhất. Phương trình này có dạng tổng quát:

$$a{x}^2+c=0$$

Vì b = 0 nên cả hạng tử bậc nhất bx biến mất khỏi phương trình, do 0x = 0. Để giải phương trình, trước hết trừ hai vế cho hệ số tự do c. Ta được:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Tiếp theo chia hai vế cho a. Ta được:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Cuối cùng khai căn hai vế. Khi đó phân số ở vế phải không được âm, vì không thể lấy căn bậc hai của số âm. Ta được kết quả:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Lưu ý rằng ta được hai nghiệm, một dương và một âm. Điều này thấy rõ hơn qua ví dụ. Giải phương trình

$$2x^2-8=0.$$

Theo các bước trên, trước hết trừ hai vế cho c. Chú ý rằng ở đây c âm, nên trừ đi một số âm, tức là cộng một số dương. Vậy ta cộng +8 vào hai vế (mục đích là chuyển số 8 sang vế phải). Ta được:

$$2x^2=8$$

Tiếp theo, chia hai vế cho a, tức là cho 2. Ta được:

$$x^2=4$$

Bây giờ khai căn.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Vì sao có cả −2? Vì (−2) nhân (−2) cũng bằng 4. Cũng có thể xem cách giải bằng đồ thị: đồ thị hàm số 2x² − 8 cắt trục hoành đúng tại các điểm x₁ = −2 và x₂ = 2.

Giải phương trình

$$80x^2-5=0.$$

Cộng 5 vào hai vế:

$$80x^2=5$$

Chia hai vế cho 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Rút gọn phân số:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Khai căn:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Phương trình bậc hai khuyết c

Một trường hợp đặc biệt khác của phương trình bậc hai là khi hệ số tự do c bằng 0. Phương trình có dạng tổng quát:

$$a{x}^2+bx=0$$

Phương trình dạng này được giải bằng cách đặt nhân tử chung là ẩn:

$$x(ax+b)=0.$$

Đến đây đã thấy khá rõ kết quả. Phương trình lại có hai nghiệm, nhưng một trong hai nghiệm luôn bằng 0. Thật vậy, toàn bộ vế trái là tích của hai biểu thức: x và biểu thức trong ngoặc (ax + b). Khi nào tích này bằng 0? Khi ít nhất một trong hai biểu thức bằng 0. Vậy vế trái bằng 0 trong hai trường hợp:

$$x=0\text{hoặc}ax+b=0.$$

Ta đã có nghiệm thứ nhất, đó là 0. Nghiệm còn lại có được khi giải phương trình bậc nhất ax + b = 0. Từ bài về phương trình bậc nhất, ta biết phương trình này có đúng một nghiệm:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Vậy có thể viết nghiệm của cả phương trình bậc hai ax² + bx = 0:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Ví dụ:

$$6x^2+3x=0$$

Đặt nhân tử chung x:

$$x(6x+3)=0$$

Nghiệm thứ nhất là x = 0. Nghiệm thứ hai tìm được bằng cách giải phương trình bậc nhất 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Kết luận nghiệm:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Lại có thể xem đồ thị hàm số, đồ thị cắt trục hoành đúng tại các điểm này:

Các cách giải khác

Trên đây là các kĩ thuật cơ bản cho những dạng đặc biệt của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai tổng quát được giải bằng biệt thức. Ngoài ra còn có phương trình bậc hai chứa tham số.

Máy tính

Nhập các hệ số a, b và c của phương trình tổng quát ax² + bx + c = 0, máy tính sẽ tính biệt thức và các nghiệm. Máy tính này cũng có ở trang riêng: máy tính giải phương trình bậc hai.