Biệt thức của phương trình bậc hai

Biệt thức là một biểu thức giúp tính nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát, hoặc xác định phương trình có nghiệm hay không và có bao nhiêu nghiệm.

Công thức và các hệ thức cơ bản

Trước hết nhắc lại dạng tổng quát của phương trình bậc hai:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

trong đó a, b, c là các số thực. Biệt thức, kí hiệu là Δ, được tính như sau:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Ví dụ: xét phương trình bậc hai 3x² + 5x − 7 = 0. Với phương trình này, a = 3, b = 5, c = −7. Biệt thức được tính như sau:

$$\mathrm{\Delta }=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Vậy kết quả là 109. Con số này cho biết điều gì? Nếu biệt thức…

• dương thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt,
• bằng 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm thực bằng nhau),
• âm thì phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Tuy nhiên, phương trình có nghiệm trên tập số phức.

Cách tính nghiệm của phương trình bậc hai

Nhờ biệt thức, có thể tính trực tiếp nghiệm của phương trình bậc hai. Công thức nghiệm như sau:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$$

trong đó Δ là biệt thức. Viết đầy đủ biệt thức, công thức có dạng:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Ta dùng công thức này để tính nghiệm của phương trình bậc hai x² + 7x + 12 = 0. Trước hết tính biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Biệt thức dương, nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Tính nghiệm thứ nhất. Lần thứ nhất ta cộng căn bậc hai của biệt thức, lần thứ hai ta trừ đi căn bậc hai đó:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

Nghiệm thứ nhất là −3. Nghiệm thứ hai tính bằng cách trừ đi căn bậc hai:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = −3 và x₂ = −4.

Để làm được theo cách này, nhất thiết phải xác định đúng các giá trị a, b và c. Cách xác định chúng đã được trình bày trong bài đầu tiên về phương trình bậc hai.

Về mặt hình học, nghiệm này có ý nghĩa gì, thể hiện trên đồ thị thế nào? Nếu vẽ đồ thị hàm số ở vế trái của phương trình, ta thấy đồ thị của hàm số bậc hai này cắt trục hoành tại hai điểm, có hoành độ x₁ = −3 và x₂ = −4.

Biệt thức bằng 0

Nếu biệt thức bằng 0 thì phương trình có nghiệm, nhưng chỉ có một nghiệm; hay nói cách khác là hai nghiệm bằng nhau. Ví dụ: giải phương trình x² − 10x + 25 = 0. Tính biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Tính nghiệm giống như ở mục trước, theo công thức. Nhưng vì biệt thức bằng 0 nên phần cộng/trừ căn bậc hai của Δ biến mất khỏi công thức, vì ta cộng/trừ 0.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Phương trình có nghiệm kép x = 5. Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là gì? Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại đúng một điểm, chính là đỉnh của nó.

Biệt thức âm

Nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm trên tập số thực. Có thể giải phương trình trên tập số phức, nhưng điều đó sẽ được trình bày ở bài sau. Ví dụ, ta thử giải phương trình bậc hai: x² + x + 1 = 0. Biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Vậy phương trình bậc hai vô nghiệm trên tập số thực. Có thể tự kiểm tra: đa thức x² + x + 1 dương với mọi số thực. Chẳng hạn, thay x bằng 1, ta được: 1 + 1 + 1 = 3. Nếu x = −1 thì ta có 1 − 1 + 1 = 1. Nếu x = 0 thì ta có 0 + 0 + 1 = 1. Với các số khác cũng tương tự. Có thể xem đồ thị hàm số y = x² + x + 1: nó không bao giờ cắt trục hoành.

Định lí Viète

Ta đã biết cách tính nghiệm của phương trình bậc hai. Nhưng giữa các nghiệm có quan hệ gì? Thử cộng hai nghiệm x₁ và x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Cộng hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, ta được thương −b/a. Nếu nhân hai nghiệm thì sao?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Vậy nếu nhân hai nghiệm, ta được số c/a. Đó chính là nội dung của định lí Viète. Viết gộp lại:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Lưu ý rằng mẫu số luôn là a. Trường hợp đặc biệt là phương trình bậc hai có a = 1. Khi đó có thể viết các hệ thức Viète như sau:

$$\begin{array}{r}\text{nếu }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Có thể dùng điều này để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Thay vì tính biệt thức, ta xem có tìm được hai số x₁ và x₂ thoả mãn các hệ thức trên không. Ví dụ: tìm nghiệm của phương trình x² + 8x + 15 = 0. Ở đây a = 1, nên có thể dùng các hệ thức Viète đơn giản hơn. Ta tìm hai số x₁ và x₂ sao cho:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Nếu chỉ xét các số nguyên, có tất cả bốn cách để được tích bằng 15:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Bây giờ cần tổng của hai số ở vế trái bằng −8. Chỉ có một cặp cho tổng như vậy, đó là −3 và −5. Vậy hai số này là nghiệm của phương trình bậc hai. Có thể thay chúng vào phương trình để thử lại, kết quả phải bằng 0:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Đúng. Khi biết các nghiệm, cũng có thể viết phương trình ở dạng dễ đọc hơn. Nếu x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 với a = 1 thì có thể viết lại phương trình dưới dạng

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Vậy phương trình trên có thể viết lại dưới dạng:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$