Tam giác vuông

Tam giác vuông có một góc trong là góc vuông, tức là góc 90 độ. Tam giác này có một số tính chất thú vị, sẽ được trình bày trong bài này.

Mô tả cơ bản

Tam giác vuông đã được giới thiệu sơ lược trong bài chính về tam giác. Tam giác vuông có một góc trong bằng 90 độ. Hai góc trong còn lại nhất thiết phải nhỏ hơn 90 độ, vì nếu không thì tổng các góc trong sẽ không bằng 180 độ. Hơn nữa, tổng hai góc còn lại đúng bằng 90 độ.

Tam giác vuông tất nhiên có ba cạnh: hai cạnh gọi là cạnh góc vuông (các cạnh màu đỏ), đó là hai cạnh ngắn hơn, còn cạnh thứ ba gọi là cạnh huyền (cạnh màu xanh dương) – đó là cạnh dài nhất. Cạnh huyền luôn nằm đối diện với đỉnh góc vuông.

Định lí Pythagore

Có lẽ định lí toán học nổi tiếng nhất, định lí Pythagore, đúng trong tam giác vuông. Định lí Pythagore nói về độ dài các cạnh của tam giác. Định lí phát biểu rằng: “Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông”. Viết dưới dạng công thức cho tam giác của ta, trong đó cạnh huyền là cạnh a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Định lí Pythagore trên hình vẽ, lần này theo cách kí hiệu thông thường với cạnh huyền c: Định lí này được trình bày trong bài riêng.

Diện tích tam giác vuông

Trong tam giác vuông, diện tích tính rất đơn giản, vì đường cao trùng với cạnh góc vuông. Hãy hình dung tam giác vuông ở hình đầu tiên. Làm thế nào để tính diện tích của nó mà không cần biết đường cao? Có thể bổ sung tam giác thành một hình chữ nhật. Hai cạnh của hình chữ nhật là hai cạnh góc vuông của tam giác, còn hai cạnh còn lại được vẽ thêm sao cho thu được hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật thì ta đã biết tính, đó là tích độ dài hai cạnh kề nhau, ở đây là tích của hai cạnh màu đỏ AC và AB. Như vậy ta có diện tích hình chữ nhật. Mặt khác, cạnh huyền BC là đường chéo của hình chữ nhật, chia hình chữ nhật thành hai nửa bằng nhau, nên chia diện tích hình chữ nhật cho 2 ta được diện tích tam giác vuông. Công thức như sau:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

trong đó b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Sin và côsin

Trong tam giác vuông, ta định nghĩa các tỉ số lượng giác cơ bản và các hệ thức giữa chúng. Các tỉ số lượng giác như sin, côsin, tang và côtang biểu thị tỉ số giữa độ dài các cạnh của tam giác vuông. Ta dùng lại tam giác ở hình đầu tiên, lần này có đánh dấu các góc.

Muốn tìm tỉ số độ dài của hai cạnh, ta lấy hai độ dài đó chia cho nhau theo đúng thứ tự. Chẳng hạn, tỉ số độ dài hai cạnh b:c (đọc là “b trên c”) bằng 3/5 (cạnh b dài 3, cạnh c dài 5).

Sin liên quan đến tỉ số của hai cạnh và một góc. Theo hình trên: tỉ số hai cạnh b:a là giá trị sin của góc β. Côsin tương tự, chỉ khác là ứng với tỉ số c:a và cùng góc β. Như vậy:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Trong tam giác vuông, sin và côsin chỉ được xét với các góc nhỏ hơn 90 độ, ở đây là các góc β và γ. Với các góc này, sin và côsin luôn cho kết quả là một số thuộc khoảng (0; 1). Nhờ đó có thể nhớ quy tắc: luôn lấy cạnh ngắn hơn chia cho cạnh dài hơn – để được một số thuộc khoảng (0; 1).

Cả hai tỉ số đều dùng một cạnh góc vuông và cạnh huyền, không bao giờ dùng đồng thời hai cạnh góc vuông. Vì luôn lấy cạnh ngắn hơn chia cho cạnh dài hơn nên cạnh huyền luôn nằm ở mẫu số. Nhìn vào các công thức ở trên, mẫu số luôn là a, chính là cạnh huyền của tam giác.

Quy tắc cuối cùng là sin dùng cạnh đối, còn côsin dùng cạnh kề. Điều này có nghĩa là gì? Với góc β, cạnh kề là cạnh góc vuông xuất phát từ điểm B, tức cạnh c. Cạnh đối là cạnh góc vuông còn lại, tức cạnh b. Vì vậy trong công thức của sin có cạnh b, còn trong công thức của côsin có cạnh c.

Tóm lại: sin là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, côsin là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. Có thể dùng điều này như thế nào? Khi biết các góc của tam giác và độ dài cạnh huyền hoặc một cạnh góc vuông, ta tính được độ dài các cạnh còn lại. Ví dụ:

Tam giác ở hình trên có:

$$AC=b=3,AB=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Cạnh a dài bao nhiêu? Ta biết:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Giá trị sin đã biết, độ dài cạnh b cũng đã biết, cần tìm độ dài cạnh a. Biểu diễn a theo các đại lượng khác bằng các phép biến đổi tương đương:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Trước hết nhân hai vế với a, sau đó chia hai vế cho sin.) Vế phải chỉ còn các giá trị đã biết, nên ta thay số. Giá trị sin tính bằng máy tính cầm tay.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Cạnh a dài 5,83. Khi tính sin bằng máy tính cầm tay, cần chú ý bật chế độ tính theo độ. Lỗi thường gặp là máy đang tính theo radian, một đơn vị đo góc khác. Tuy nhiên có công thức đổi:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

trong đó deg là số đo tính bằng độ.

Tang và côtang

Trong tam giác vuông cũng dễ dàng dùng hai tỉ số này. Một lần nữa, ta chỉ xét các góc nhỏ hơn 90 độ. Nhưng khác với sin và côsin, các tỉ số này không dùng cạnh huyền mà chỉ dùng hai cạnh góc vuông: tang của một góc bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, côtang bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Với tam giác ở trên, ta có:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Thử tính độ dài cạnh AC (cạnh b) của tam giác trên bằng góc β. Số đo của góc này đã biết từ ví dụ trước. Ta biết:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Biểu diễn cạnh b theo các đại lượng khác:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Chỉ cần nhân hai vế với c rồi đổi chỗ hai vế.) Bây giờ đã biết mọi thứ cần thiết để tính độ dài cạnh b. Thay số:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Ngay trên hình đã thấy kết quả này đúng. Chỉ cần lưu ý một lần nữa rằng góc trong tang ở công thức tính bằng độ, trong khi máy tính có thể đang đòi góc tính bằng radian.

Để minh hoạ, có thể tính cạnh này bằng côtang:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Thay số:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Kết quả một lần nữa đúng.