Матрица на прехода

Ако имаме векторно пространство V и два негови базиса, можем да изразим един вектор от пространството като комбинация на вектори и от двата базиса. Матрицата на прехода ни помага да преобразуваме едното представяне в другото.

Мотивация

Нека имаме n-мерно векторно пространство V и два негови различни базиса E = {e₁, …, e_n} и F = {f₁, …, f_n}. Нека изберем и някакъв вектор x от V. Тъй като x е от пространството V и тъй като E и F са базиси на това пространство, трябва да съществуват коефициенти a₁, …, a_n, такива че:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

и също така трябва да съществуват коефициенти b₁, …, b_n, такива че:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

В първия случай изразяваме вектора x с помощта на базиса E, във втория случай – с помощта на базиса F. Използваме два различни базиса за изразяването на x, затова получаваме и два различни набора от коефициенти a_i и b_i. Възниква въпросът: ако знаем коефициентите b_i, съществува ли начин от тези коефициенти да получим коефициентите a_i, тоест представянето спрямо първия базис?

Да, за това служи така наречената матрица на прехода.

Как да получим матрицата на прехода

Отново имаме пространство V и два базиса E = {e₁, …, e_n} и F = {f₁, …, f_n}. Тъй като E е базис на пространството V, със сигурност и всички вектори f₁, …, f_n могат да се изразят като линейни комбинации на вектори от базиса E. Векторите f₁, …, f_n са част от базиса F, но същевременно са обикновени елементи на пространството V, така че трябва да е изпълнено:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Сега преписваме тези уравнения в матрица така, че в първия стълб на матрицата да са коефициентите на вектора $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, тоест a_i1, във втория – коефициентите на вектора $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, тоест a_i2, и т.н. Получаваме матрицата:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Такава матрица се нарича матрица на прехода от базис E към базис F. Ако имаме вектор x = (x₁; …; x_n) от V, който има спрямо базиса F коефициенти b₁, …, b_n, то коефициентите a₁, …, a_n спрямо базиса E получаваме така

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Пример

Ще работим във векторното пространство ℝ³. Избираме единия базис да е стандартният E = {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}, а другия базис F = {(2; 0; 0), (3; 2; 0), (1; 5; 4)}. Матрицата на прехода от базиса E към базиса F ще има вида

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Сега избираме произволен вектор x ∈ ℝ³, например x = (12; 41; 28). Той има спрямо базиса F коефициенти b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Извършваме умножение на матрици:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Спрямо базиса E векторът x има коефициенти a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Тоест е изпълнено:

$$(12;41;28)=12\cdot (1;0;0)+41\cdot (0;1;0)+28\cdot (0;0;1)$$