Свойства на функциите

Функцията е правило, което на всяко число x от дефиниционното множество M съпоставя точно едно y от множеството от стойности N. Функцията обикновено записваме във вида y = f(x) или можем да я изразим явно f:y = x, където променливата x е аргументът на функцията.

Дефиниционно множество и множество от стойности

За всяка функция трябва да определим и нейното дефиниционно множество, което е множеството на всички допустими стойности на аргумента x, тоест всички стойности, които променливата x може да приема. Дефиниционното множество на функцията f означаваме с D(f).

Прост пример: f:y = x тук дефиниционното множество е равно на цялото множество на реалните числа D(f) = ℝ. Друг пример: $f:y=\frac{1}{x}$ в този случай дефиниционното множество е множеството на реалните числа, но този път без нулата, защото не можеш да делиш на нула, изразът после няма да има смисъл D(f) = ℝ ∖ {0}.

Множеството от стойности е по аналогия множеството на всички допустими y, тоест множеството на всички елементи, към които функцията f може да сочи. Отново прост пример: нека имаме функцията f:y = x. Тук множеството от стойности е ℝ, защото y може да достига всяка стойност от това множество. Да вземем обаче друга функция f:y = |x| (абсолютна стойност). Тук множеството от стойности вече ще е равно на интервала [0; +∞), защото никога не може да се случи y да е равно например на минус пет, тъй като по определението на абсолютната стойност това не е възможно.

Ако се придържаме към понятието изображение от множество A в множество B, тогава знай, че множеството A е дефиниционното множество, а множеството B е множеството, в което функцията изобразява; множеството от стойности е негово подмножество.

Монотонност на функцията

Монотонността на функцията е свойство, което определя дали функцията в даден интервал е растяща, намаляваща, нерастяща, ненамаляваща, константна или нищо от посоченото.

Това свойство най-добре се отчита от графиката: ако ти се струва, че графиката пада, функцията е намаляваща, ако функцията расте, тя е растяща. Колко просто :-). Определенията биха изглеждали така: имаме функция f и нека x₁, x₂ ∈ D(f). Тогава казваме, че

• функцията f е растяща, ако от x₁ < x₂ следва f(x₁) < f(x₂).
• функцията f е намаляваща, ако от x₁ < x₂ следва f(x₁) > f(x₂). (Определението изглежда същото, но в първия случай при стойностите на функцията стои <, а във втория >)

Погледни графиката на растящата функция f(x) = ln(x):

Виждаме, че когато изберем такива x₁, x₂, че да е в сила x₁ < x₂, тогава е в сила и f(x₁) < f(x₂). Сега погледни още една графика, този път на функцията $f(x)=\frac{1}{x}$, която е намаляваща например в интервала (0; +∞):

Тук виждаме, че когато x₁ < x₂, за техните стойности на функцията обратно е в сила f(x₁) > f(x₂). Въпреки че x₁ е по-малко от x₂, то „създава“ по-голяма стойност на функцията.

Нека посочим и останалите определения:

• Функцията f е ненамаляваща, ако от x₁ < x₂ следва f(x₁) ≤ f(x₂). (Определението е подобно на това при растящата функция, само че допускаме функцията в определен участък да има постоянна стойност)
• Функцията f е нерастяща, ако от x₁ < x₂ следва f(x₁) ≥ f(x₂).
• Функцията f е константна, ако множеството ѝ от стойности е едноелементно, тоест ако за всеки две x₁, x₂ е в сила f(x₁) = f(x₂).

Пример за нерастяща функция е функцията f(x) = |x|−x:

Забележи, че в интервала (−∞; 0) функцията намалява, а в останалия интервал тя има постоянна стойност (нула). В цялото дефиниционно множество това е нерастяща функция.

Четна и нечетна функция

Някои функции при определени условия могат да бъдат четни или нечетни. Най-лесно е, ако знаеш графиката на функцията – по нея това се разпознава най-бързо. Четната функция е симетрична спрямо оста y, а нечетната функция е симетрична спрямо началото (0; 0). Пример за четна функция може да бъде y = x², а нечетна функция е например функцията y = 2x. Определенията биха изглеждали така – функцията f е

• четна, ако за всяко x ∈ D(f) е в сила f(x) = f(−x),
• нечетна, ако за всяко x ∈ D(f) е в сила −f(x) = f(−x).

За четните и нечетните функции има отделна статия Четна и нечетна функция.

Инективна функция

Инективната функция разпознаваме по това, че всичките ѝ стойности са уникални, никоя стойност не се повтаря. Определение:

Функцията f е инективна, ако за всички x₁, x₂ ∈ D(f) е в сила, че

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Ако изберем две различни x от дефиниционното множество на функцията, то стойностите им винаги трябва да са различни.

Графично това се разпознава, както винаги, съвсем просто. Ако прекараш през графиката права, успоредна на оста x, тя трябва да пресича графиката най-много в една точка. Пример за инективна функция е например линейната функция y = 3x. Каквато и права да вземеш, тя винаги пресича графиката точно в една точка. Обратното е например функцията синус, чиято графика образува нещо като вълнички, така че ако прекараш права, успоредна на оста x, която пресича оста y в точката $\frac{1}{2}$, ще намериш безкрайно много пресечни точки с графиката, следователно тя не е инективна функция.

Ограничена функция

Функциите могат да бъдат ограничени, и то ограничени отгоре, ограничени отдолу или едновременно отгоре и отдолу – на такава функция просто казваме ограничена функция. Функцията f е ограничена отгоре, ако намерим такова реално число A, което е по-голямо от всички стойности на функцията f. По подобен начин и за функция, ограничена отдолу. Така че определенията:

• Функцията f е ограничена отгоре, ако съществува A ∈ ℝ, такова че за всяко x ∈ D(f) е в сила A > f(x).
• Функцията f е ограничена отдолу, ако съществува A ∈ ℝ, такова че за всяко x ∈ D(f) е в сила A < f(x).

Графично можем да си го представим така, че търсим права, успоредна на оста x (т.е. хоризонтална права), която се намира над или под цялата графика на функцията.

На чертежа имаме графиката на функцията f(x) = x⁴, която е ограничена отдолу. Забележи, че изобщо не е нужно да намираме такова A, което е „най-близо“ до графиката, достатъчно е да поставим правата където и да е под графиката.

Минимум и максимум

Функцията f има в точката M от дефиниционното множество максимум, ако в тази точка M е най-голямата стойност измежду всички стойности, които функцията има. По подобен начин и за минимума. Определения:

• Функцията f има в точката M ∈ D(f) глобален максимум, ако за всяко x ∈ D(f) е в сила f(x) ≤ f(M) – накратко, че стойността на функцията е най-голяма в точката M. Ако съществува единствен максимум, наричаме го строг максимум.
• Функцията f има в точката m ∈ D(f) глобален минимум, ако за всяко x ∈ D(f) е в сила f(x) ≥ f(m) – стойността на функцията е най-малка в точката m.

На графиката максимумът и минимумът на функцията се намират доста лесно, просто гледаш къде функцията е най-ниско или най-високо. Функцията, разбира се, може да няма нито минимум, нито максимум, или да има само минимум или само максимум, а също така функцията може да има само локални екстремуми, но в цялото дефиниционно множество да няма нито един екстремум.

Ако трябва да намериш минимуми и максимуми, използвай производни, точният начин е описан в статията изследване на функция.

Пример

Определи свойствата на функцията по следната графика:

• Дефиниционното множество на тази функция е интервалът [−4; 4].
• Множеството от стойности е интервалът [−2; 4].
• На пръв поглед функцията може да изглежда растяща, но в участъка [0; 2] има постоянна стойност, така че не може да е растяща. Въпреки това функцията в никой интервал не намалява, затова е ненамаляваща функция.
• Графиката на функцията не е симетрична нито спрямо оста y, нито спрямо началото на координатната система, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.
• Инективна ли е функцията? Вече беше казано, че в участъка [0; 2] функцията има постоянна стойност, така че не може да е инективна. За различни x има едно и също y.
• Функцията е ограничена, и то както отгоре, така и отдолу. Можем да намерим хоризонтална права, която ще е над цялата графика, и такава, която ще е под цялата графика.
• Дадената функция има и минимум, и максимум. Минимумът е в точката m = −4, а максимумът – в точката M = 4.