Корени

Коренът е частична обратна функция на степента. Най-често работим с квадратния корен, който търси такова число, което, умножено само със себе си, дава първоначалното число, от което сме вадили корен.

Квадратен корен

За корена се използва знакът $\sqrt{}$, като за да не се налага да записваме аргумента на корена в скоби по някакъв такъв начин: $\sqrt{}$(25), над целия аргумент (израза, от който искаме да извадим корен) се прави хоризонтална черта, така: $\sqrt{25}$.

В началото ще се занимаваме само с квадратния корен от реално число. Можем да го определим така:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Ако умножиш корена от числото a по корена от числото a, получаваш числото a. Така че за числото 9 коренът би бил равен на 3, защото е в сила 3 · 3 = 9.

Предишният израз можем да запишем и така:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Това е само друг запис на предишното умножение, а именно с помощта на степен.

Съществен факт е, че това равенство е в сила само за онези a, които са от дефиниционното множество на корена. Работата е там, че не можем да извадим корен от отрицателно число. Можем да извадим корен от всяко положително число, можем да извадим корен от нула, но не можем да извадим корен от отрицателно число? Защо не става?

Да предположим, че искаме да пресметнем корена от −25. Имаме по принцип две възможности какво число да изберем. Или положително, или отрицателно. Ако изберем положително, имаме 5 · 5 = 25. Получихме 25, но ние искаме −25. Опитваме тогава с −5; само че след умножението отново имаме 25. Накратко, ако умножиш две отрицателни числа, получаваш положително число. Също така, когато умножаваш две положителни числа. Би трябвало да умножиш −5 · 5, за да получиш −25, а това не става, умножаваш две различни числа, макар и да се различават само по знака. Затова не може да се пресметне корен от отрицателно число.

Корен от по-висока степен

Подобно на това как можем да степенуваме израз на втора, на трета, на четвърта, можем да имаме и трети, и четвърти, и накрая n-ти корен от реално число. Записва се обикновено над „клюнчето“ на знака, така:

$$\sqrt[5]{32}$$

Този запис означава пети корен от числото трийсет и две. n-тия корен определяме с помощта на n-тата степен така:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Ако вместо n заместим две, получаваме квадратния корен така, както го определихме преди малко. Накратко бихме могли да го определим и така:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

В сила е конвенцията, че при квадратния корен не е нужно да пишем двойката, тоест тези записи са еквивалентни:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Така че например за четвърти корен би важало:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

И един конкретен пример:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

И обратно, в сила е 4 · 4 · 4 = 64.

Корен от отрицателно число

Вече знаем, че не съществува квадратен корен от отрицателно число, защото a², където a е реално число, никога не е отрицателно. Но при корените от по-висока степен вече не умножаваме само два пъти, така че могат да настъпят случаи, когато n-ти корен от отрицателно число съществува. Как стоят нещата тогава?

Пречеше ни, че когато умножим отрицателно число два пъти, получаваме положително число. За резултата −25 ни трябваше произведението −5 · 5. Но какво се случва, когато умножаваме три отрицателни числа? След умножаването на първите две отрицателни числа имаме положително число. А след умножаването с последното отрицателно число пак имаме отрицателно число. Ако умножим още веднъж (общо четири пъти), отново сме в положителните числа.

Поуката от това е такава, че ако умножаваме отрицателно число n пъти, когато n е четно, полученото произведение е положително, а когато е нечетно, произведението е отрицателно. От това заключаваме, че съществува n-ти корен от отрицателно число, когато n е нечетно. Пример:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Преобразуване в степен

Корените можем лесно да ги преобразуваме в степени и често това се прави, защото със степените после се работи по-лесно. В сила е следната връзка:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Ако имаме n-ти корен от a, това е същото, като да степенуваме a на 1/n. Това може да ти е полезно и в момент, когато трябва някъде да въведеш корен от по-висока степен от втора. Често това не става директно, но може да се въведе дроб в степенния показател. Ако искаш програма да ти начертае графиката на корен четвърти, въведи функцията

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Най-често се използва преобразуването на квадратния корен:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Формули за корени

Тъй като коренът лесно се преобразува в степен, изразите с корен наследяват формулите за общите степени. Така че са в сила следните връзки:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Същевременно са в сила тези основни връзки:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Изнасяне на множител пред знака на корена

Изнасянето на множител пред знака на корена е техника, която се използва за опростяване на корени и използва една от предишните формули:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Някои изрази под корена можем да ги разложим на произведение, след това да ги разпишем в два корена и накрая да пресметнем единия от тези корени. Типичен пример може да бъде този:

$$\sqrt{4x}$$

Този израз можем според предишната формула да го препишем така:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

И сега можем да извадим корен от четворката:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

По подобен начин можем да препишем и обикновено число, ако искаме да запазим точната форма. Така че пример:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Калкулатор

Ако трябва да пресметнеш корен, можеш да използваш нашия калкулатор за корени 🧮.