Питагорова теорема

Питагоровата теорема е може би най-известната математическа теорема изобщо. За самия Питагор от Самос можеш да прочетеш другаде. Сега ще се заемем с триъгълниците.

Лице на квадрат върху страна на триъгълник

Питагоровата теорема ни дава полезна връзка между лицата на квадратите, които построяваме върху страните на правоъгълен триъгълник. Нека имаме този правоъгълен триъгълник:

Правоъгълен триъгълник ABC

Квадратната мрежа на заден план ни дава размерите на триъгълника. Дължината на катета AC е 4, а дължината на катета BC е 3. Но каква е дължината на страната AB, хипотенузата на триъгълника? На пръв поглед не можем да я разберем. Можем обаче да се опитаме да я пресметнем.

Първо построяваме квадрат върху катета BC. Това означава, че построяваме квадрат, на който всички страни са равни на дължината на страната BC, т.е. три. На фигурата бихме го начертали така:

Получи се квадратът BCDE, на който всички страни са с дължина 3. Какво е лицето на такъв квадрат? Лицето на квадрат пресмятаме, като умножим дължините на две негови страни, така че лицето на квадрата BCDE е 3 · 3 = 9. Чертаем на фигурата и квадрата върху другия катет, върху катета AC. Този квадрат ще има страна 4.

Този квадрат ще има лице 4 · 4 = 16. Сега начертаваме последния квадрат, върху хипотенузата AB:

Какво е лицето на този нов квадрат, засега не знаем, защото не знаем дължината на страната AB. Но сега можем удобно да използваме Питагоровата теорема. Тя казва, че лицето на този последен квадрат ABHI е равно на сбора от лицата на предишните два квадрата. Първите два квадрата имаха лица 9 и 16, затова последният квадрат има – по Питагоровата теорема – лице 9 + 16 = 25. Записваме на фигурата:

А сега остава да отговорим на последния въпрос – ако квадратът ABHI има лице 25, каква е дължината на страните му? Трябва да е квадратният корен от 25, така че дължината на страната AB е $\sqrt{25} = 5$ . Ако проверим обратно и пресметнем лицето на квадрат със страна 5, получаваме 5 · 5 = 25. Сега вече можем да преминем към числата и определенията.

Формулировка

Питагоровата теорема гласи приблизително така: „Лицето на квадрата върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равно на сбора от лицата на квадратите върху катетите му“. Математически теоремата обикновено се записва така

$c^{2} = a^{2} + b^{2},$

където a и b са дължините на катетите в триъгълника, а c е дължината на хипотенузата.

Какво казва тогава Питагоровата теорема и как този запис е свързан с предишната фигура? Лице на квадрат върху страна на триъгълник означава, че вземаме квадрат със страна, равна на дължината на дадената страна, и пресмятаме лицето му. Лицето на квадрат пресмятаме, като умножим дължината на едната му страна по дължината на другата, т.е. ако страната е с дължина c, лицето S е: S = c · c, което чрез степени можем да запишем като S = c².

Записът c² = a² + b² можем да четем точно като „лицето на квадрат със страна c е равно на сбора от лицата на квадрати със страни a и b“.

Още веднъж подчертавам, че теоремата е в сила само в правоъгълен триъгълник, не във всеки триъгълник. Питагоровата теорема обикновено се използва, когато знаеш дължините на две страни и трябва да пресметнеш дължината на останалата. Ако знаем дължините на двата катета a и b и искаме да получим дължината на хипотенузата c, пресмятаме лицата върху катетите, т.е. пресмятаме a² + b². Така получаваме лицето на квадрата върху хипотенузата c, т.е. получаваме c². За да получим дължината на страната c, просто коренуваме пресметнатото лице. Получаваме формулата:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}},$

където c е дължината на хипотенузата, а a, b са дължините на катетите. Ако пък знаем дължината на хипотенузата и на единия катет и искаме да пресметнем дължината на другия катет, пресмятаме го по същия начин, само че първо изразяваме единия катет в съответното уравнение. Ако знаем c и b и искаме да пресметнем a, то в уравнението

$c^{2} = a^{2} + b^{2},$

изразяваме a², като извадим b²:

$c^{2} - b^{2} = a^{2},$

разменяме лявата и дясната страна:

$a^{2} = c^{2} - b^{2}$

и накрая коренуваме:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Първи пример

Нека е даден триъгълник ABC, на който знаем дължините на две страни: a = 3 и b = 4. Това е същият триъгълник, който имахме в началото. Въпросът е каква е дължината на останалата страна, страната c? Ще се опитаме да я пресметнем с посочената формула. Триъгълникът е показан на следната фигура:

Триъгълник към първата задача

Виждаме, че знаем дължините на двата катета и ни липсва дължината на хипотенузата. Затова използваме първата, непреобразуваната формула:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Заместваме променливите a и b с дължините на страните:

$c = \sqrt{3^{2} + 4^{2}}$

Във формулата има втора степен – за напомняне е в сила следната връзка:

$a^{2} = a \cdot a \to 4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$

След като пресметнем втората степен, получаваме:

$\begin{array}{rcl} c & = & \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ c & = & \sqrt{9 + 16} \\ c & = & \sqrt{25} \\ c & = & 5 \end{array}$

Резултатът е, че дължината на страната c е равна на пет.

Втори пример

В този пример ще пресметнем дължината на единия катет, когато знаем другия катет и хипотенузата. Имаме триъгълник ABC със страни |AC| = 10 и |BC| = 6. Триъгълникът е показан на следната фигура:

Триъгълник към втория пример

От фигурата виждаме, че хипотенузата, т.е. най-дългата страна, е страната |AC|. Трябва да пресметнем дължината на страната |AB|. Заместваме във втората формула, за пресмятане на дължината на катет:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

За да приложим Питагоровата теорема правилно, трябва сега да си дадем сметка какво означава всяка променлива. В тази формула променливата a е дължината на страната, която искаме да пресметнем, в нашия случай страната |AB|. Променливата c е дължината на хипотенузата, най-дългата страна, в нашия случай страната |AC|. А променливата b е дължината на катета, чиято дължина знаем, в нашия случай |BC|. Затова заместваме във формулата така:

$| A B | = \sqrt{| A C |^{2} - | B C |^{2}}$

Заместваме конкретните дължини на известните страни:

$| A B | = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}$

Пресмятаме степените и изваждаме:

$| A B | = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64}$

И накрая коренуваме:

$| A B | = 8$

Дължината на страната |AB| е равна на осем.

Текстова задача

Представи си, че отиваш при приятелка по право шосе. Шосето е дълго 250 метра. След като извървиш тези четвърт километър, завиваш наляво, вървиш още 100 метра и си при добрата си приятелка. Въпросът е с колко ще е по-къс пътят, ако минеш направо през полето?

Като първа стъпка пресмятаме дължината на пътя по шосето. Първо вървиш 250 метра направо, после 100 метра наляво. Това е общо 250 + 100 = 350 метра. Сега е ред на пресмятането на дължината на пътя през полето. За това ни трябва фигура.

Посока на пътя, ако вървиш по шосето

Една клетка на фигурата представлява 50 метра. Как би изглеждал прекият път през полето? Това би била отсечката от точката A до точката C. Начертаваме я на фигурата в червено. Откроен пряк път през полето

Сега вече виждаме, че за да пресметнем дължината на пътя през полето, е достатъчно да приложим Питагоровата теорема. Търсим дължината на хипотенузата и знаем дължините на двата катета, затова използваме първата формула и заместваме в нея така:

$| A C | = \sqrt{| A B |^{2} + | C B |^{2}}$

Заместваме дължините:

$| A C | = \sqrt{250^{2} + 100^{2}}$

Повдигаме на степен:

$| A C | = \sqrt{62500 + 10000} = \sqrt{72500}$

Коренуваме и закръгляваме:

$| A C | = 269$

Дължината на пътя през полето е 269 метра. Това не е краят на задачата, въпросът беше с колко е по-къс пътят през полето. Изваждаме дължините една от друга, разликата означаваме с r:

$r = 350 - 269 = 81$

Отговорът е, че пътят е по-къс с приблизително 81 метра.

Дължина на страната на квадрат

Каква е дължината на страната на квадрат, който има диагонал с дължина десет? Как ни помага Питагоровата теорема? Трябва да намерим в квадрата някакъв правоъгълен триъгълник, който да използваме за пресмятане на дължината на страната на квадрата. Само за напомняне: квадратът има четири равни по дължина страни. Нека начертаем положението:

Квадрат с диагонал десет

Виждаме, че в квадрата изведнъж се появиха два триъгълника с прав ъгъл, които можем да използваме за пресмятане на дължината на страната. Нека вземем например триъгълника BCD. Страната DB е хипотенуза, другите две са катети. Дължините на катетите не знаем, но знаем дължината на хипотенузата. Катетите са с еднаква дължина, т.е. |BC| = |CD|. Използваме Питагоровата теорема в основния ѝ вид:

$| B D |^{2} = | B C |^{2} + | C D |^{2}$

Тъй като катетите са равни, достатъчно е да пресметнем втората степен на единия катет и да я умножим по две – не е нужно да пресмятаме втората степен на двата катета, защото са равни и ще получим същия резултат. Можем да запишем:

$| B D |^{2} = 2 (| B C |^{2})$

Знаем дължината на страната BD, това е хипотенузата. Дължината ѝ е равна на десет. Заместваме в уравнението:

$10^{2} = 2 (| B C |^{2})$

Повдигаме десетката на квадрат:

$100 = 2 (| B C |^{2})$

Разделяме на две:

$\frac{100}{2} = | B C |^{2}$

Съкращаваме дробта:

$50 = | B C |^{2}$

Сега вече сме почти до целта. Знаем, че втората степен на дължината на страната на квадрата е равна на 50. За да намерим дължината на страната, трябва да коренуваме уравнението, което можем да си позволим, защото работим с положителни числа:

$\sqrt{50} = \sqrt{| B C |^{2}}$

Квадратния корен от петдесет оставяме в този вид, но от дясната страна на уравнението можем да махнем корена и степента, защото се съкращават.

$\sqrt{50} = | B C |$

Ако искаш, можеш да пресметнеш и корена от петдесет. Закръглено ще ти излезе седем:

$7 = | B C |$

Дължината на страната на квадрата е приблизително седем, а точно – квадратният корен от петдесет.

Калкулатор

Хипотенузата можеш да пресметнеш от двата катета, а катета – от хипотенузата и другия катет. Мерните единици можеш да превключваш при всяко поле.

Глави: Триъгълник, Височина на триъгълник, Медиана на триъгълник, Окръжности в триъгълник, Правоъгълен триъгълник, Как да построим триъгълник, Еднаквост на триъгълници, Подобие на триъгълници, Лице на триъгълник, Питагорова теорема

« Предишна: Лице на триъгълник

Следваща: Окръжност »